让我们深入理解经济学中的数学概念——凹凸性，它不仅涉及单变量和双变量函数的细腻定义，还有线性、正负关系以及它们的性质交织。让我们从基础出发，线性函数是特殊的，它既是凹函数又是凸函数，但需注意，这种非严格性是关键区分点。
单变量的分类清晰明了：(a)函数是严格凹的，意味着一阶导数在任何点都递减，(b)严格凸则相反，一阶导数递增。双变量的严格凹性更加微妙，它揭示了函数曲率的深度。当我们探讨函数和时，线性函数的特性尤为有趣：它们并非严格凹凸，而凹函数的相反函数恰好是凸函数，反之亦然。
更进一步，我们有函数和定理：(3-1)凹凸函数的和依然遵循凹凸规则，(3-2)当至少有一个是严格时，和函数会成为严格凹凸。在Chiang & Wainwright和Gravelle & Rees的著作中，图11.9、9.5、11.6和11.7提供了生动的视觉辅助，帮助我们理解这些概念。
让我们聚焦在凸函数的性质上，Mas-Colell在定理M.C.1中给出了关键定义：如果函数可微且满足(M.C.4)的凹性要求，那么严格凹性意味着不等式为strict。凹函数的直观特征在于其切线永远位于图像之上，相反，凸函数则相反。
而对于二阶条件，二次可微函数的凹凸性通过二阶偏导数的符号判断，简单明了：凹函数的二阶导数恒小于0（<0），严格凹则0），严格凸则>0为恒成立的特性。
实际应用中，我们可以通过导数来检验函数的凹凸性，例如，一个函数如果是凹的(<0)，那么它就是严格凹的(0)，则它是严格凸的(>0恒成立)。
现在，让我们通过练习题2-2-2，将理论知识付诸实践，运用一阶微分和基本定义来验证函数的凹凸性。
最后，如果你对凹凸性有更深入的兴趣，不要错过Mr Figurant的数学选读03，那里有更丰富的拟凹凸性内容等待你的探索。