关于讨论二次型正定性的问题

Question

f=x^2+2y^2+3z^2-4xy+6xz+8yz

通过顺序主子式来看上面的方程不是全正定或全负定的，我知道有半正定（负定）一说，但不知道解法，求大大们能帮我详解此题！

Answer 1

f=x^2+2y^2+3z^2-2xy-2yx+3xz+3zx+4yz+4zy
a11=1, a12=-2, a13=3
a21=-2. a22=2, a23=4
a31=3, a32=4, a33=3
写成矩阵形式，即M=
1 -2 3
-2 2 4
3 4 3

若M正定，则f正定
M的各阶顺序主子式为
1阶顺序主子式|1|=1>0
2阶顺序主子式
|1 -2|
|-2 2|
=-2<0
3阶顺序主子式
|1 -2 3|
|-2 2 4|
|3 4 3|
=6-24-24-18-12-16
=-78<0
∴M既不是正定矩阵，也不是负定矩阵
∴f既不是正定矩阵，也不是负定矩阵

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正定二次型，以下命题等价：
f是正定二次型
M是正定矩阵
M的顺序主子式均>0

若将上述正定定义中的> 分别换为＜，≥和≤，则为负定，半正定，半负定的定义

Answer 2

可以通过配方 把它化成完全平方的形式 最后观察 平方项系数全为正则为正定的 全为负则为负定的 如果既有正又有负则为不定的 如果全为正和零 则为半正定的 如果有全为负的和零则为半负定的