傅里叶变换的公式推导

Question

如题所述

Answer 1

傅里叶变换是一种将时域信号转换为频域信号的数学工具，它在信号处理、通信和控制等领域有着广泛的应用。在本文中，我们将介绍傅里叶变换的公式推导过程。
傅里叶变换的公式可以表示为：
$F(\omega)=\int_^f(t)e^dt$
其中，$F(\omega)$表示信号$f(t)$在频率为$\omega$时的复振幅，$j$表示虚数单位。
我们可以通过以下步骤来推导傅里叶变换的公式：
首先，我们假设信号$f(t)$可以表示为无限多个正弦和余弦函数的叠加形式，即：
$f(t)=\sum_^A_n\cos(n\omega_0t)+B_n\sin(n\omega_0t)$
其中，$A_n$和$B_n$是正弦和余弦函数的系数，$\omega_0$是信号的基频率。
我们将上式中的正弦和余弦函数用欧拉公式展开，得到：
$f(t)=\sum_^a_ne^$
其中，$a_n=A_n-jB_n$是复振幅。
接下来，我们将信号$f(t)$的复振幅$a_n$作为一个函数，对其进行傅里叶积分，得到：
$F(\omega)=\int_^f(t)e^dt=\int_^\sum_^a_ne^e^dt$
将指数项展开，得到：
$F(\omega)=\int_^\sum_^a_n e^dt$
考虑到指数函数在周期为$2\pi$时是周期函数，我们可以将积分限从$-\infty$到$\infty$变为从$0$到$2\pi$，即：
$F(\omega)=\int_^\sum_^a_n e^dt$
利用欧拉公式和三角函数的和差公式，可以将上式化简为：
$F(\omega)=\sum_^a_n\int_^e^dt$
当$n\omega_0-\omega\neq0$时，上式中的积分为：
$\int_^e^dt=\frac(e^-1)=0$
当$n\omega_0-\omega=0$时，上式中的积分为：
$\int_^e^dt=\int_^e^dt=2\pi$
因此，我们可以将$F(\omega)$表示为：
$F(\omega)=\frac\sum_^a_n2\pi\delta(\omega-n\omega_0)$
其中，$\delta(\omega)$是单位冲激函数。将$a_n$代入上式，得到：
$F(\omega)=\frac\sum_^(A_n-jB_n)2\pi\delta(\omega-n\omega_0)$
化简可得：
$F(\omega)=\sum_^(A_n-jB_n)\delta(\omega-n\omega_0)$
这就是傅里叶变换的公式。
综上所述，傅里叶变换的公式可以通过将信号表示为正弦和余弦函数的叠加形式，将复振幅作为函数进行傅里叶积分，然后将积分结果表示为单位冲激函数的叠加形式得到。