高一数学

Question

一道奥数书上的题目：
设x^2-x+1=0的两个根为p、q。求满足f（p）=q，f（q）=p，f（1）=1的二次函数f（x）。
书上的解答：
由题设，可设
f（x)=a(x^2-x+1)+bx+c
所以
{ bp+c=q ①
{ bq+c=p ②
{ a+b+c=1 ③
①- ②，得b（p-q）=q-p，由于p≠q，故b=-1。①+ ②，得c=p+q=1，带入③，a=1
所以f（x）=（x^2-x+1）+x+1=x^2-2x+2
希望有人可以讲解一下这一步：
由题设，可设
f（x)=a(x^2-x+1)+bx+c

Answer 1

由题意可知， f（x） 是二次函数，一般形式应该是a*x^2+b*x+c
而题上给出了一个二次关系 x^2-x+1=0 当x=p 、q 时成立
所以不妨将（x^2-x+1）视为整体 以便利用其与 pq 的关系
又不影响 二次函数的普遍性 所以在其 前后加上系数 一次相二次项
也就是 f（x)=a(x^2-x+1)+bx+c
关键是解题时的技巧，方法其实不具有普遍性，这也是奥数题的特点

Answer 2

我专门为你画了个图，累死了，其实这题目本身不难，最主要的是要会还原成正方体。看看还原后的图，可以发现B点和F点，G点和C点是重合的。所以可以发现AB和CD，AB和GH，EF和GH是异面直线。这是第一小题。第二小题：它要求AB与HG所成的角，也就是求AB与BI所成的角。（这个看得出来吧？HG与BI互相平行？）因为它是正方体，所以可以看出AB=BI=AI,所以∠ABI=60°，也就是AB与HG所成的角是60°。呵呵，我的语言组织能力比较差，看起来比较杂乱无章，请谅解。还有，毕竟3年没有学过数学了，有些知识差不多已经忘记光了，所以也可能出错，等别人回答了，你在对照一下吧。