平方数(或称完全平方数),是指可以写成某个整数的平方的数,即其平方根为整数的数。例如,9 = 3 × 3,9是一个平方数。
若将平方数概念扩展到有理数,则两个平方数的比仍然是平方数,例如, 。若一个整数没有除了 1 之外的平方数为其因子,则称其为无平方数因数的数。
扩展资料:
一、相关性质
1、一个平方数是两个相邻三角形数之和。两个相邻平方数之和为一个中心正方形数。所有的奇数平方数同时也是中心八边形数。
2、四平方和定理说明所有正整数均可表示为最多四个平方数的和。特别的,三个平方数之和不能表示形如 4k(8m + 7) 的数。若一个正整数可以表示因子中没有形如 4k + 3 的素数的奇次方,则它可以表示成两个平方数之和。
3、平方数必定不是完全数。
4、奇数的平方除以4余1,偶数的平方则能被4整除。
5、a²-b²=(a+b)(a-b)。
6、一个平方数是两个相邻三角形数之和。两个相邻平方数之和为一个中心正方形数。所有的奇数平方数同时也是中心八边形数。
7、四平方和定理说明所有正整数均可表示为最多四个平方数的和。特别的,三个平方数之和不能表示形如 4(8m+ 7) 的数。若一个正整数可以表示因数中没有形如 4k+3 的素数的奇次方,则它可以表示成两个平方数之和。
二、表达式
1、通项公式
对于一个整数 n,它的平方写成 n²。n²等于头 n个正奇数的和。在上图中,从1开始,第 n个平方数表示为前一个平方数加上第 n个正奇数,如 5² = 25 = 16 + 9。即第五个平方数25等于第四个平方数16加上第五个正奇数:9。
2、递推公式
每个完全平方数可以从之前的两个平方数计算得到,递推公式为 n² = 2(n − 1)² − (n − 2)² + 2。例如,2×5² − 4² + 2 = 2×25 − 16 + 2 = 50 − 16 + 2 = 36 = 6²。
3、连续整数的和
完全平方数还可以表示成 n² = 1 + 1 + 2 + 2 + ... + n − 1 + n − 1 + n。例如,4² = 16 = 1 + 1 + 2 + 2 + 3 + 3 + 4。可以将其解释为在边长为 3 的矩形上添加宽度为 1 的一行和一列,即得到边长为 4 的矩形。这对于计算较大的数的完全平方数非常有用。例如: 52² = 50² + 50 + 51 + 51 + 52 = 2500 + 204 = 2704。
参考资料来源:百度百科-平方数
平方数(或称完全平方数),是指可以写成某个整数的平方的数,即其平方根为整数的数。例如,9 = 3 × 3,9是一个平方数。平方数也称正方形数,若n为平方数,将n个点排成矩形,可以排成一个正方形。
若一个整数没有除了 1 之外的平方数为其因子,则称其为无平方数因数的数。每4个连续的自然数相乘加 1,必定会等于一个平方数,即a(a+ 1)(a+ 2)(a+ 3) + 1 = (a+ 3a+ 1)。平方数必定不是完全数。
平方数的性质:
1、一个平方数是两个相邻三角形数之和。两个相邻平方数之和为一个中心正方形数。所有的奇数平方数同时也是中心八边形数。
2、四平方和定理说明所有正整数均可表示为最多四个平方数的和。特别的,三个平方数之和不能表示形如 4k(8m + 7) 的数。若一个正整数可以表示因子中没有形如 4k + 3 的素数的奇次方,则它可以表示成两个平方数之和。
3、平方数必定不是完全数。
4、奇数的平方除以4余1,偶数的平方则能被4整除。
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