老师您好，我有个数学问题：是不是函数关于点的信息推断不出该点邻域的信息？

Question

比如说一个点可导推断不出该点邻域的可导，推断不出函数在该点邻域的连续性？在一点的连续性推断不出该点邻域的连续性？

Answer 1

是这样的，如果函数在某一点处可导，那么函数一定存在一个德尔塔邻域，使该邻域内的所有点处函数均可导.
但是这个邻域可大可小，如果你任意给一个该点的邻域，不一定可导，比如：
f(x)在点x=1处可导，区间(0.9,1.1)所有点均可导，但(0,2)就不一定了，我只能保证你存在一个邻域满足条件，但不是说任何一个邻域都满足条件.

请采纳，谢谢！追问

可以证明一下第一句话么？

追答

反证法，也可以举个反例，比如狄利克雷函数，任意点都不可导，则一定处处不可导.