函数能不能只在一点可导 其余都不可导 说明原因 举出例子

Question

如题所述

Answer 1

能。取函数f(x)=x^2*D(x)，D(x)为狄利克雷函数，则：
①f(x)在x=0可导，且导数为0，这是因为由定义有lim(f(x)-f(0))/(x-0)=limx*D(x)=0 (x→0)；
②对任意x0≠0，
（i）若x0∈Q，有f(x0)=0，此时当x以有理数点趋于x0时，(f(x)-f(x0))/(x-x0)=(x^2*D(x)-0)/(x-x0)=0/(x-x0)=0；当x以无理数点趋于x0时，(f(x)-f(x0))/(x-x0)=(x^2*D(x)-0)/(x-x0)=x^2/(x-x0)→∞，即导数不存在；从而lim(f(x)-f(0))/(x-0)不存在。
（ii）若x0∉Q，则有f(x0)=x0^2，此时当x以有理数点趋于x0时，(f(x)-f(x0))/(x-x0)=(x^2*D(x)-x0^2)/(x-x0)=-x0^2/(x-x0)→∞；当x以无理数点趋于x0时，(f(x)-f(x0))/(x-x0)=(x^2*D(x)-x0^2)/(x-x0)=(x^2-x0^2)/(x-x0)=2*x0；从而lim(f(x)-f(0))/(x-0)不存在。
综上，函数f(x)=x^2*D(x)只在x=0可导，在其余各点皆不可导
注意，f(x)=x^2*D(x)在原点是连续的（而且原点是其唯一连续点），不能想当然地以为D(x)处处不连续就有f(x)=x^2*D(x)处处不连续

Answer 2

不可能。函数在某一点可导的含义是可以在这一点的正向和负向两个方向的无穷小区间内都能找到变化率，既然在这点无穷小的区间内可以找到变化率，那么在这个无穷小区间内就一定存在着更多个高阶无穷小区间，那么对于这些高阶无穷小区间内的所有点都是可导的，因此不存在某个函数仅仅在一点可导。本回答被网友采纳

Answer 3

不可能
函数导数为函数在某点的斜率
单独一个点不存在斜率，如果有斜率必须有邻点，则邻点必然可导

Answer 4

当然能追问

举例子？

追答

举不出

Answer 5

y=x（x=1）追答

只能在x=1可导，其他不能导

因为没意义