三个中值定理的公式：拉格朗日中值定理、柯西中值定理和泰勒中值定理。
1、拉格朗日中值定理
拉格朗日中值定理是微积分学中最基本的中值定理之一。函数f(x)在闭区间[a, b]上连续，且在开区间(a, b)上可导，在(a, b)内至少存在一个点ξ，使得f'(ξ) = (f(b) - f(a)) / (b - a)。这个定理揭示了函数在区间上的变化率与函数在该区间上的平均值之间的关系。
2、柯西中值定理
柯西中值定理是另一个重要的中值定理。函数f(x)和g(x)在闭区间[a, b]上连续，且在开区间(a, b)上可导，那么在(a, b)内至少存在一个点ξ，使得f'(ξ) * g(ξ) = f(b) * g'(b) - f(a) * g'(a)。这个定理描述了两个函数在区间上的某种线性关系。
3、泰勒中值定理
泰勒中值定理是关于幂级数的中值定理。函数f(x)在点x0处具有n+1阶导数，那么对于任意实数x，存在一个ξ在x0和x之间，使得f(x) = f(x0) + f'(x0) * (x - x0) + ... + f^(n)(ξ) * (x - x0)^n / n!。这个定理描述了函数在某点处的展开式，可以用来近似计算函数在邻近点的值。
中值定理的三个主要作用
1、连接函数与其导数
中值定理能够联系函数的局部性质与整体性质。提供了一种机制，通过函数的导数来推断函数的整体行为。这个定理为理解函数的变化率和函数的值之间的关系提供了重要的桥梁。
2、判断函数的性质
中值定理可以用来判断函数的单调性、极值、最值的性质。中值定理还可以用来证明一些重要的不等式，这些不等式在数学分析、几何学、代数学领域中有着广泛的应用。
3、解决实际问题
中值定理在解决实际问题中也有着广泛的应用。在经济学中，中值定理可以用来解决一些最优控制的问题，中值定理还可以用来解决一些数值计算的问题，数值逼近和插值。