如何理解矩阵乘以特征值等于该矩阵乘以特征向量

Question

如题所述

Answer 1

解：α是A的属于特征值p的特征向量

则Aα = pα

∴xAα = xp α

∴xp是xA的特征值, α 仍是 xA 的 属于特征值xp的特征向量

g(x) 是x的多项式， λ是A的特征值，α是A的属于特征值λ的特征向量

则g(λ) 是 g(A) 的特征值， α仍是g(A)的属于特征值g(λ)的特征向量)

∴矩阵乘特征值等于该矩阵乘特征向量。

充分必要条件是：

扩展资料

性质：

如果数λ和n维非零列向量x使关系式Ax=λx成立，那么这样的数λ称为矩阵A特征值，非零向量x称为A的对应于特征值λ的特征向量。式Ax=λx也可写成( A-λE)X=0。这是n个未知数n个方程的齐次线性方程组，它有非零解的充分必要条件是系数行列式| A-λE|=0。

设A是数域P上的一个n阶矩阵，λ是一个未知量，系数行列式|A-λE|称为A的特征多项式，记¦(λ)=|λE-A|，是一个P上的关于λ的n次多项式，E是单位矩阵。

¦(λ)=|λE-A|=λ+a1λ+…+an= 0是一个n次代数方程，称为A的特征方程。特征方程¦(λ)=|λE-A|=0的根(如：λ0)称为A的特征根(或特征值)。

n次代数方程在复数域内有且仅有n个根，而在实数域内不一定有根，因此特征根的多少和有无，不仅与A有关，与数域P也有关。

有n个复根λ1,λ2,…,λn，为A的n个特征根。当特征根λi(I=1,2,…,n)求出后，(λiE-A)X=θ是齐次方程，λi均会使|λiE-A|=0，(λiE-A)X=θ必存在非零解，且有无穷个解向量，(λiE-A)X=θ的基础解系以及基础解系的线性组合都是A的特征向量。