数学题目

Question

已知F(x)=(x-1）^2。数列{an}是首项为a1，公差为d的等差数列；{bn}是首项为b1，公比为q(q属于R）的等比数列。且满足a1=F(d-1),a3=F(d+1),b1=F(q+1),b3=F(q-1).
(1)求数列{an}的通项公式。
（2）若存在cn=an*bn(n属于正整数），试求数列{cn}的前n项和。
（3）是否存在数列{dn}，使得d1=a2,dn=(bn/4)-2d(n-1)对于一切大于1的整数n都成立？若成立，求{dn}的通项公式
dn=(bn/4)-2d(n-1)中的(n-1)是d的下标，即dn的前一项 .an,bn,cn.dn中的n都是下标

Answer 1

数列{an}是首项为a1，公差为d的等差数列
a1=F(d-1),a3=F(d+1),
则
a1=(d-2）^2,
a3=d^2
而a3-a1=2d
则4-4d=2d
则d=2/3.
则a1=16/9
所以an=10/9+2/3n

因为b1=F(q+1),b3=F(q-1).
且{bn}是首项为b1，公比为q(q属于R）的等比数列
则
b1=q^2,
b3=(q-2)^2
而b3/b1=q^2
则(q-2)^2/q^2=q^2
则q=-2,1
所以b1=4，1
所以bn=4*(-2)^(n-1)或bn=1
则cn=an*bn。则
cn=（10/9+2/3n）*4*(-2)^(n-1)
则设Sn=16/9*4+22/9*(-8)+...+（10/9+2/3n）*4*(-2)^(n-1)
则-2Sn=（-2）*16/9*4+*（-2）*22/9*(-8)+...+（10/9+2/3n）*4*(-2)^n
则俩式相减得
3Sn=16/9*4+2/3*[(-8)+16-...+4*(-2)^(n-1)]-（10/9+2/3n）*4*(-2)^n
则
3Sn=10/9*4+2/3*[4+(-8)+16-...+4*(-2)^(n-1)]-（10/9+2/3n）*4*(-2)^n
3Sn=10/9*4+2/3*[4*[1-(-2)^n]/(1+2)-（10/9+2/3n）*4*(-2)^n
则Sn=40/27+2*[4*[1-(-2)^n]/27-（10/9+2/3n）*4*(-2)^n

当q=1时，{cn}的前n项和即{an}的和
(10/9+2/3n+16/9)*n/2
=(13/9+1/3n)*n

使得d1=a2,dn=(bn/4)-2d(n-1)对于一切大于1的整数n都成立？若成立，求{dn}的通项公式
因为bn/4=(-2)^(n-1)
则
dn+2d(n-1)=(-2)^(n-1)
-2d(n-1)+4d(n-2)=(-2)^(n-1)
-4d(n-2)+8d(n-3)=(-2)^(n-1)
....
-2^（n-2）d2+2^（n-1）d1=(-2)^(n-1)
左右两边各自相加：
dn+2^（n-1）d1=n*(-2)^(n-1)
则
dn=n*(-2)^(n-1)-2^（n-1）*a2
dn=n*(-2)^(n-1)-2^（n-1）*22/9
当bn=1时，
则为dn=1/4-2d(n-1)
设dn-m=-2[d(n-1)+m/2-1/8]
令-m=m/2-1/8
m=1/12
所以{dn-1/12}为公比为（-2）的等比数列
所以dn-1/12=(22/9-1/12)*(-2)^(n-1)
则
dn=(22/9-1/12)*(-2)^(n-1)+1/12

Answer 2

deng

Answer 3

1.a1=F(d-1)=(d-1-1)^2=d^2-4d+4
a3=F(d+1)=(d-1+1)^2=d^2
|a1-a3|=4*|d-1|=2|d|
d=2d-2 d=2 d>=1 an=2(n-1)
d=2-2d d=2/3 0<d<1 an=(22-6n)/9
-d=2-2d d<0 无解

2.先求bn的通项公式
b1=q^2 b3=(q-2)^2
b3/b1=(q-2)^2/q^2=q^2 (q-2)^2=q^4 |q-2|=q^2
q>2 无解
q<2 q=1 bn=1
q=-2 bn=4(-2)^(n-1)

n属于正整数
cn=2(n-1)*1=2(n-1)
前n项和=2(n-1)*n/2=n(n+1)

3.d1=2(2-1)=2=8/4
dn=1/4-2d(n-1)
d2=1/4-4=-15/4
d3=1/4+30/4=31/4
d4=1/4-62/4=-61/4
d5=1/4+122/4=123/4
没找见规律