线性方程组证明题（有图和答案，求解析）（线性代数、基础解系）

Question

图片例2，为什么因为P是可逆矩阵，就有r(B)=r(A)=3, 我就这个不明白。

Answer 1

当行列式|P|≠0时，秩r（P）=n，我们就称P是可逆矩阵。
向量组如果是基础解系，那么这些向量一定线性无关，即r（A）=3
如果n维向量α1，α2，α3线性无关，若β1，β2，β3可用α1，α2，α3线性表出，
设(β1，β2，β3)=（α1，α2，α3）P
那么β1，β2，β3线性无关的充分必要条件是|P|≠0

证明如下：
记A=（α1，α2，α3），B=(β1，β2，β3)

必要性
若β1，β2，β3线性无关，则秩r（B）=r(β1，β2，β3)=3，又
r（B）=r（AP）≤r（P）≤3
因此，秩r（P）=3，即矩阵P可逆，|P|≠0

充分性
若|P|≠0，即矩阵P可逆，那么
r（B）=r(AC)=r(A)=r（α1，α2，α3）=3
所以β1，β2，β3线性无关。

newmanhero 2015年1月4日22:19:11

希望我的解答对你有所帮助。