如何求二次型的标准型？

Question

如题所述

Answer 1

二次型的标准型：配方法；合同变换法；特征值法。

二次型的标准型和规范型区别为：系数不同、转化不同、所有项不同。

一、系数不同

1、标准型：标准型的系数可以为任意常数。

2、规范型：规范型的系数只能为-1，0，1。

二、转化不同

1、标准型：同一实对称矩阵A化为的标准型可以有多个。

2、规范型：同一实对称矩阵A化为的规范型是唯一的。

三、所有项不同

1、标准型：标准型的所有项都是平方项，且其所有平方项的系数都为1。

2、规范型：规范型的所有项都是平方项。

二次型的标准型不唯一。

一个二次型的标准型不唯一，规范型唯一。 求标准型的方法就是按照实对称矩阵对角化的步骤，把二次型的矩阵作为实对称矩阵，求处Q，然后做正交变换x=Qy（xy为列向量），把向量组中的每个xi根据Q替换为yi，即可得到标准型。

若二次型只有平方项，则称二次型为标准型。

如果标准型中，系数只有1，-1和0，那么称为二次型的规范型，因为标准型中，1，-1，0的个数是由正负惯性指数决定的，而合同的矩阵正负惯性指数相同，因此相互合同的矩阵乘以相同的向量组得到的二次型的规范型一定相同。

此外，求一个二次型的正负惯性指数，是通过求特征值得到，为正数的特征值的个数就是正惯性指数，即规范型中1的个数。