判断两个函数是否为同一函数,主要依据包括定义域、值域、对应关系。
1、定义域:如果两个函数的定义域相同,那么它们就是同一函数。例如,所有偶数的平方都是正数,因此我们说f(x)=x^2和g(x)=(-x)^2是同一函数,因为它们都定义在所有的实数上。
2、值域:如果两个函数的值域相同,那么它们就是同一函数。例如,所有的有理数的平方都是非负数,因此我们说f(x)= x^2和g(x)=(-x)^2是同一函数,因为它们的值域都是非负数。
3、对应关系:如果两个函数对每一个输入都有相同的输出,那么它们就是同一函数。例如,对于任何实数x,我们都有f(x)=g(x)=x^2,因此我们说f(x)=x^2和g(x)= x^2是同一函数。
函数性质包括唯一性、有界性、连续性、可导性、单调性、奇偶性。
1、唯一性:对于定义域中的每个元素,函数都有一个唯一的输出值。这是函数最基本的性质。
2、有界性:如果存在一个实数M,使得所有的x都满足0≤f(x)≤M,那么我们就说函数f是有界的。
3、连续性:如果对于定义域中的任意两点x和y,当它们的差的绝对值趋近于0时,函数f(x)的值也趋近于f(y),那么我们就说函数f是连续的。
4、可导性:如果函数在某一点的导数存在且不为零,那么我们就说函数在这一点上是可导的。导数是描述函数变化速度的重要工具。
5、单调性:如果对于定义域中的任意两个不相等的实数x1和x2,如果f(x1)>f(x2),那么我们就说函数f在定义域上是单调递增的;反之,如果f(x1)<f(x2),那么我们就说函数f在定义域上是单调递减的。
6、奇偶性:如果对于定义域中的每一个实数x,都有f(-x)=-f(x)或f(-x)=f(x),那么我们就说函数f是偶函数或奇函数。