函数专讲
1、函数的定义：
(1)、传统概念：若在某变化过程中有两个变量x，y，并且对于x在某个范围内的每一个确定的值，按照某个对应法则f，y都有惟一确定的值和它对应，那么y就是x的函数，记作 。
(2)、近代定义：函数是一种特殊的映射 ，必须满足①A、B都是非空数集，②集合B中的每一个元素都有原象（其象的集合是B的子集）。
2、函数的定义域
在实际寻求函数的定义域时，应遵循下列原则：
（1）、分式的分母不等0；
（2）、偶次根式的被开放式大于等于0；
（3）、特殊函数（如对数函数，三角函数）应保障函数本身有意义；
（4）、对于由实际问题建立的函数，其定义域应受实际问题的具体条件的限制；
（5）、有限个函数的四则运算得到的函数，其定义域是这些有限个函数的定义域的交集；
（6）、对于没有给出具体数数形式的抽象函数求定义域时，应当记住两点：定义域是自变量的取值范围和同一对应法则后括号内的式子具有相同的取值范围。
3、函数的解析式
（1）、换元法
已知 的表达式，欲求 ，我们常设 ，从而求得 ，然后代入 的表达式，从而得到 的表达式，即为 的表达式。
（2）、待定系数法
若已知 的结构时，可设出含参数的表达式，再根据已知条件，列方程或方程组，从而求出待定的参数，求得 的表达式。
（3）、凑配法
若已知 的表达式，欲求 的表达式，用换元法有困难时，（如 不存在反函数）可把 看成一个整体，把右边变为由 组成的式子，再换元求出 的式子。
（4）、消元法
若已知以函数为元的方程形式，若能设法构造另一个方程，组成方程组，再解这个方程组，求出函数元，称这个方法为消元法。
（5）、赋值法
在求某些函数的表达式或求某些函数值时，有时把已知条件中的某些变量赋值，使问题简单明了，从而易于求出函数的表达式。
4、函数的值域
(1)、观察法
对于较简单的函数值域,有进也可以 “看”出来,比如,函数 , 的值域分别是 和 。
(2)、配方法
对于二次函数 在区间 上的最值问题，有以下结论：
① 若 ，则 ；
② 若 ，则 ；
③ 若 ，则 。
时，可仿此讨论。
(3)、部分分式法(分离常数或代数式)
对于形如 的函数的值域，一般为 ，这是因为 。
(4)、反求法
对于形如 的函数，若 ，常先求出 （用 表示），再根据 的范围求得 的范围。
(5)、判别式法
判别式法求最值，用途很广，大家也较熟悉，但用判别式求最值是有条件的，即当 时，使用“ ”求最值万无一失；当 时，使用“ ”求最值不保险，因为 不一定包含“ ”求最值点的横坐标。若解决某些实际问题时，用“ ”求最值方便，也要验证 量否在已知区间，或是否符合实际。
(6)、换元法
形如 的形式，可用换元法，即设 ，转化成二次函数再求值域（注意 ）。
（7）、利用函数单调性
5、函数的图像
(1)、两个不同函数的对称性
① 关于 轴对称；
② 关于 轴对称；
③ 关于原点对称。
(2)、同一函数图像的对称性
若函数 对定义域内一切 都有：
① ，则函数图像关于y轴对称；
② ，则函数图像关于x轴对称；
③ ，则函数图像关于 对称；
④ ，则函数图像关于 对称；
(3)、平移变换
① 的图像是将 的图像向右（a>0）或向左（a<0）平移|a|个单位；
② 的图像是将 的图像向上（b>0）或向下（b<0）平移|b|个单位；
(4)、翻折变换
① 的图像是将 的图像在x轴上方不变，x轴下方沿x轴向上翻折生所得，也可理解为
② 的图像是将 的图像在y轴右方不变，y轴右方沿y轴向左翻折生所得，也可理解为
(5)、压缩变换
① 可看做函数 的图像沿x轴方向向y轴压缩（a>1）或伸长（0<a<1）到原来的 倍后所得。
② 可看做函数 的图像沿x轴方向向y轴伸长（b>1）或压缩（0<b<1）到原来的b倍后所得。
6、函数的单调性
(1)、证明函数单调性的方法
最基本的方法是依据函数单调性的定义进行，其步骤如下：
第一步：取值。即在该区间上任取 ,且 ;
第二步：作差。即作差 ；
第三步：变形。把 通过因式分解、配方、有理化等方法，向有利于判断差的符号的方向变形；
第四步：定号。确定差 的符号，当符号不确定时，应当分区间进行讨论；
第五步：判断。根据定义作出结论。
说明：还可以用导数来判断。
（2）、函数单调性的性质
①单调函数必有反函数，且原函数与其反函数有相同的单调性。
②若 同为增（减）函数，且 ，则 在 上是增（减）函数。
④ 若 同为增（减）函数，且 ，在 时， 恒正，则 在 上是增函数。
⑤ 如果函数 在 上与函数 在 的上的单调性一致（相反），那么函数 在 上单调增（减），简记为“同增异减”。
7、反函数
（1）函数 的定义域、值域分别是函数 的值域、定义域，即先有原函数的值域，后有反函数的定义域，反函数的定义域是由原函数的值域确定的，而不是由解析式确定的。
（2）互为反函数的图像关于直线 对称。
8、指数函数和对数函数
（1）、掌握某种函数的性质，关键是掌握其图像，只要能够画出函数的图像，其定义域、值域以及单调性便一目了然了。
（2）、指数函数的图像与性质
（3）、对数函数的图像与性质
（4）、对数函数的运算法则
①
②
③
④ （换底公式）其中
9、幂函数
（1）定义：形如 的函数称为幂函数，它在第一象限内的大致图像如图所示：
（2）、性质：
①当a>0时，单调增；当a<0时，单调减；
②恒过(1,1)点。
10、函数的奇偶性
（1）、定义
如果对于函数 定义域内任意一个x，都有 ，那么函数 就叫做奇函数；如果对于函数 定义域内任意一个x，都有 ，那么函数 就叫做偶函数。
由奇偶性的定义知，一个函数具有奇偶性的必要条件是它的定义域关于数轴的原点对称。因此，若一个函数的定义域不关于原点对称，则它即不是奇函数也不是偶函数，如
（2）、判断函数奇偶性的方法
①定义法
②图像法
若一个函数的图像关于原点成中心对称图形，则该函数是奇函数；若一个函数的图像关于y轴成轴对称图形，则该函数是偶函数。
③运算性质法
在公共定义域内，奇函数 奇函数=奇函数，偶函数 偶函数=偶函数，奇函数 奇函数=偶函数，偶函数 偶函数=偶函数，奇函数 偶函数=奇函数。
（3）、两个结论
①设 的定义域关于原点对称，则 可以表示成一个奇函数和一个偶函数之和，即
②已知函数 在区间 上递增（减）。若 是奇函数，则 在区间 上递增（减）；若 是偶函数，则 在区间 上递减（增）。（或奇函数在关于原点对称的两个区间上单调性相同；偶函数在关于原点对称的两个区间上单调性相反）
11、函数的周期性
（1）、定义
设函数 的定义域为D，若存在非零常数T，使得 满足：
① 对于任意 ，有 ；
② 。
则称 为周期函数，常数T为它的一个周期。易知，若T为 的个周期，则 ,即nT也为 的周期。故周期函数的周期有无数个，我们经常研究的是它的最小正周期。以后，若不进行特殊说明，我们说函数“ 的周期为T”意思就是它的最小正周期为T。
（2）、周期函数的判定
①若 ，则 是周期为2a的周期函数。
证明：
②若 ，则 是周期为2(a+b)的周期函数。
证明：
。
③ 若 ，则 是周期为6a的周期函数。
证明：
由①知 。
④ 若 ，则 是周期为2a的周期函数。（自己证明）
12、函数的对称性
（1）、若函数 的图像关于直线 对称得到 图像，则 的表达式为 。
证明：任取 在 上，则 关于直线 的对称点 在 上， ，由 的任意性知， 。
（2）、若将函数 的图像关于点 对称得到 图像，则 的表达式为 。
（3）、若将函数 的图像有两条对称轴 或两对称点 ，则 是周期为2|b-a|的函数。
（4）、若函数 的图像有一条对称轴 ，和一对称点 ，则 是周期为4|b-a|函数。
证明：由条件有 ，不妨设b>a，则
。
注：以上四条性质从图像上看是显然的，我们应特别关注函数图像的重要性。
13、函数的凹凸性
任取 ，且 ，若 ，称f(x)是[a,b]上的凸函数；若 ，称f(x)是[a,b]上的凹函数
14、复合函数
（1）、定义：设函数 ，当 时， ； 又是 的函数 ，当 时， 。从集合M中每一个给定的x，通过P中惟一一个元素u与集合Q中惟一一个元素y相对应，则y也是x的函数，称为这两个函数的复合函数，记为 或 ,称 为外函数， 为内函数。
（2）、复合函数的运算律
①结合律：
②分配律：
特别注意，复合函数运算没有交换律，例如：
设 ，则
（3）、我们经常研究的是形如 的复合函数。
①单调性：如前所述
②奇偶性：如果 为奇函数， 奇（偶）函数，则 为奇（偶）函；如果 为偶函数， 有意义，则 必为（偶）函。
③周期性：内函数为周期函数，复合函数必为周期函数；但若外函数为周期函数，复合函数却未必是周期函数，如 。
15、不动点
方程 的根称为函数 的不动点。
16、函数的迭代
（1）、定义：设 是定义在D上且取值于D上的函数，记 ， ， ……， ，则称 是函数 在D上的迭代，称n为 的迭代函数。
（2）、求一个函数的n次迭代，是数学竞赛中一种基本题型，对于一些比较简单的函数，这个问题是比较容易解决的，例如：
①若 ，则 ；
②若 ，则 ；
③若 ，则 ；
⑤ 若 ，则 。
但是，事情不会都这么简单，大多数的函数，迭代后不能写这么整齐简单的形式，后面介绍求函数迭代的一些常用方法。
（3）求n次迭代的方法
①归纳法
例：已知 ,求 。
解：
，
由此可推测：
②桥函数相似法
对于给定的函数 和 ，若存在一个可逆函数 ，使得 ，则称 和 关于 相似，记作 ，其中 称为桥函数。
桥函数相似有如下性质：
（i）：若 ，则 ；
（ii）：若 ，则
证明：
由上面的性质可知，欲求一个已知函数 的n次迭代，只需找出一个桥函数 以及简单函数 。
确定 和 可以从 的不动点来考虑。若 ，如果 和 关于 相似，则 ，因而 ，可见， 是 不动点，也就是说桥函数 具有下列性质：它将 的不动点 映成 的不动点 。通常为了便于求 ， 常取为 , , , ,等等，这是 的不动点为0或 ，此时，若 只有惟一不动点 时，则可考虑取 （或 ），这时 （或 ）；若 有两不动点 、 时，则可考虑取 ，这里 ， 。
例：设 ，求 。
解：令 ，求得 的不动点为 或1，取 ，则 ，算出 ，则
，
于是
17、高斯函数
对于一切函数x,用记号[x]表示不大于x的最大整数，称[x]为高斯函数或取整函数，我们用 表示x的小数部分，定义为 =x-[x]。
例如：[2.8]=2， ，[-2.8]=-3， 。
下面是高斯函数的主要性质，都可以由定证明：
（1） 整数；
（2） ；
（3）若[x]=[y]，则|x-y|<1;
（4）对任意实数x，y，若x y，则[x] [y]；
（5）对任意实数x，y，若 ，则[x+y]=x+y，即x+y是整数。
18、非典型函数图像与性质
(1)、
(2)、① ，这个函数在 和 ，上单调递增，在上 和 单调递减。
② 这个函数的增区间为：
例: 例:
增区间为: ；减区间为:
增区间为: ；和x轴的交点的横坐标
分别为:
(2)、 ，
若 ，则表示直线 。若 ，其图象为“反比例型”。其中心为： ；其值域为：
(3)、 的中心是点 ,其中 时,过Ⅰ、Ⅲ象限。 时过II、Ⅳ象限。
(4)、 (a>0,b>0)
对于 ：
定义域：
值域：
奇偶性：显然 ,所以 是偶函数。
单调性：根据单调性定义容易证得：
时，单调递减；在 时，单调递增，又由偶函数的性质可得： 单调递减区间为 ;
单调递增区间为 和 ;
渐近线：关于y轴对称且以y轴为渐近线，在 较“陡”，在 较“坦”。
19、抽象函数与解题策略
那些没有给出函数的具体解析式，只给出一些特殊条件或特征的函数称为抽象函数。
抽象函数往往有它所对应的具体的函函数模型，例如， 对应的是指数函数 ； 对应的是对数函数 等等。当然，也有的时候并没有我们比较熟悉的函数模型，而是新定义的一种函数。
抽象函数也可以与我们熟悉的函数，如指数函数、对数函数等一样，有自己的性质，如奇偶性、周期性、单调性等。有自己的特殊点，有自己的对称性，能画出大致图像。
面对抽象函数数学题，我们的解题思路一般不外乎（1）合理赋值，化抽象为具体；（2）作恒等变形，找出该函数规律性、特征性特点；（3）分类讨论，归纳出抽象函数的实质问题。
一般抽象函数数学题融函数单调性、周期性、奇偶性、定义域、值域、图像以及不等式、方程等知识于一体。通过赋值整体思考，找出一个具体函数原型等方法支探究该函数的性质，能运用相关性质去解决有关问题。在高考中加大对学生理性思维能力的考查是新时期的一个重要特点。