二次型经过正交变换化为标准型，等价于将二次型矩阵相似变换为对角型矩阵，由所给的标准型可知二次型矩阵相似变换为对角型的矩阵为diag(6,0,0)。再由相似的矩阵有相等的迹（矩阵的迹就是其主对角线上的元素之和）。
而原二次型的矩阵的迹为a+a+a=3a。对角型的矩阵diag(6,0,0)的迹为6+0+0=6。得3a=6，所以a=2。
重要定理
每一个线性空间都有一个基。
对一个 n 行 n 列的非零矩阵 A，如果存在一个矩阵 B 使 AB = BA =E（E是单位矩阵），则 A 为非奇异矩阵（或称可逆矩阵），B为A的逆阵。
矩阵非奇异（可逆）当且仅当它的行列式不为零。
矩阵非奇异当且仅当它代表的线性变换是个自同构。
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第1个回答 2024-01-08
二次型的矩阵表示是线性代数中的一个重要概念。一个n元二次型可以写作 ( Q(x_1, x_2, \ldots, x_n) )，它可以被看作是向量 ( x = (x_1, x_2, \ldots, x_n)^T ) 在某个对称矩阵 ( A ) 下的平方，即 ( Q(x) = x^T A x )，其中 ( A ) 是 ( n \times n ) 的对称矩阵。
要找出二次型对应的矩阵 ( A )，按照以下步骤进行：
1. 写出二次型的标准形式：
首先将二次型整理成所有项都是平方项和平方项之间乘积的形式，例如：
( Q(x) = a_1x_1^2 + a_2x_2^2 + \cdots + a_nx_n^2 + b_{12}x_1x_2 + b_{13}x_1x_3 + \cdots + b_{ij}x_ix_j + \cdots )
2. 构造矩阵：
根据二次型的系数，我们可以直接构造矩阵 ( A )：
• 主对角线上的元素是各项 ( x_i^2 ) 的系数，即 ( a_1, a_2, \ldots, a_n )。
• 非对角线上的元素是对称的，也就是说，( A ) 的第 ( i ) 行第 ( j ) 列元素 ( a_{ij} ) 等于第 ( j ) 行第 ( i ) 列元素 ( a_{ji} )，并且等于 ( x_ix_j ) 的系数的一半，即 ( a_{ij} = a_{ji} = \frac{1}{2}b_{ij} ) （当 ( i \neq j ) 时）。
3. 确认对称性：
由于二次型对应的矩阵必须是对称矩阵，所以完成上述步骤后需要检查所构造的矩阵是否对称。
示例：
假设有一个二次型 ( Q(x, y, z) = 2x^2 + 3y^2 + 4z^2 + xy + 2xz )，对应的矩阵 ( A ) 应该是：
A = | 2 0.5 1 |
| 0.5 3 0 |
| 1 0 4 |
这里，( a_{11}=2 ), ( a_{22}=3 ), ( a_{33}=4 ), ( a_{12}=a_{21}=0.5 ), ( a_{13}=a_{31}=1 ), 其他非对角线元素均为零，因为二次型中没有对应的交叉项。本回答被网友采纳
要找出二次型对应的矩阵 ( A )，按照以下步骤进行：
1. 写出二次型的标准形式：
首先将二次型整理成所有项都是平方项和平方项之间乘积的形式，例如：
( Q(x) = a_1x_1^2 + a_2x_2^2 + \cdots + a_nx_n^2 + b_{12}x_1x_2 + b_{13}x_1x_3 + \cdots + b_{ij}x_ix_j + \cdots )
2. 构造矩阵：
根据二次型的系数，我们可以直接构造矩阵 ( A )：
• 主对角线上的元素是各项 ( x_i^2 ) 的系数，即 ( a_1, a_2, \ldots, a_n )。
• 非对角线上的元素是对称的，也就是说，( A ) 的第 ( i ) 行第 ( j ) 列元素 ( a_{ij} ) 等于第 ( j ) 行第 ( i ) 列元素 ( a_{ji} )，并且等于 ( x_ix_j ) 的系数的一半，即 ( a_{ij} = a_{ji} = \frac{1}{2}b_{ij} ) （当 ( i \neq j ) 时）。
3. 确认对称性：
由于二次型对应的矩阵必须是对称矩阵，所以完成上述步骤后需要检查所构造的矩阵是否对称。
示例：
假设有一个二次型 ( Q(x, y, z) = 2x^2 + 3y^2 + 4z^2 + xy + 2xz )，对应的矩阵 ( A ) 应该是：
A = | 2 0.5 1 |
| 0.5 3 0 |
| 1 0 4 |
这里，( a_{11}=2 ), ( a_{22}=3 ), ( a_{33}=4 ), ( a_{12}=a_{21}=0.5 ), ( a_{13}=a_{31}=1 ), 其他非对角线元素均为零，因为二次型中没有对应的交叉项。本回答被网友采纳
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