万恶的线代

Question

线性代数同济四版,P125页. 讨论n阶矩阵A能对角化的条件. 证明如下: 假设已经找到可逆矩阵P,使"对象1"为对角阵,我们来讨论P应满足什么关系. 把P用其列向量表示为:P=(p1,p2... ..,pn),由"对象1",得"对象2",于是有"对象3",可见,A恰好有 n 个特征值,并可对应求得n个特征向量,这n个特征向量构成矩阵P.余下的问题是,P是否可逆?即p1,p2 ... pn是否线性无关?若P可逆,则有A与对角阵相似. 由上面的讨论既有: 定理4:n 阶矩阵A与对角阵相似的充要条件是A有n个线性无关的特征向量. (我觉得这个定理没表述清楚,这n个线性无关的特征向量,应该是A的 n个特征值所对应的n个特征向量,因为一个特征值可能会对应多个线性无关的特征向量). 下面有个例题: "对象4",问x 为何值时,A能对角化? 解:对象5",有"对象6". 对应单根-1,可求得线性无关的特征向量恰有1个,故A可对角化的充要条件是对应重根1,有2个线性无关的特征向量,即方程(A-E)x=0有2个线性无关的解,即系数矩阵A-E的秩=1. (请问,方程(A-E)x=0有2个线性无关的解,为什么系数矩阵A-E的秩=1?) http://hiphotos.baidu.com/hanqiboke/pic/item/d64db7b7b3268fe930add115.jpg
这个图像中,由于文本难以表述,故将其转换为了图像> 详细一点.

Answer 1

首先，我来纠正一下：
定理4是正确的。
他是一个总的概括，要分两个方面的来理解，
1.如果所有的特征根是不相等的，毫无疑问，这些特征值对应的特征向量一定“自然的”是线性无关的（可以证明）。所以，这个矩阵绝对可以对角化。
2.如果有特征根是相等的，这个矩阵是否可以对角化，取决于这些特征值对应的特征向量是否线性无关。线性无关则可对角化。
所有对于上面的定理总体概括就是：A有n个线性无关的特征向量.
一个特征值可能会对应多个线性无关的特征向量。
你说的这个就是出现等根的时候的特征向量。

其实。特征向量和特征值是“伴随”的。没有特征值，何谈特征向量，所以说，谈到特征向量，就是特征值对应的那个特征向量。无其他

其实解题时，只要是不出现等根，你就放心大胆的判定：一定可对角化。出现等根的特征向量则需要考虑其线性相关。

请问,方程(A-E)x=0有2个线性无关的解,为什么系数矩阵A-E的秩=1?)
你是否已学线性方程组？如果已学。可使用线性方程组解释：
对于n阶方程组AX=b，R（A)=m。可知其解向量个数为：n-m
再考虑你这个题目：
方程(A-E)x=0有2个线性无关的解，即及解向量为2个，而方程组为3阶。
那么数矩阵A-E的秩=3-2=1.当然正确了。