如图，已知二次函数y=x 2 +bx+c的图象的对称轴为直线x=1，且与x轴有两个不同的交点，其中一个交点坐标为

Question

如图，已知二次函数y=x 2 +bx+c的图象的对称轴为直线x=1，且与x轴有两个不同的交点，其中一个交点坐标为（-1，0）。（1）求二次函数的关系式；（2）在抛物线上有一点A，其横坐标为-2，直线l过点A并绕着点A旋转，与抛物线的另一个交点是点B，点B的横坐标满足-2＜x B ＜ ，当△AOB的面积最大时，求出此时直线l的关系式；（3）抛物线上是否存在点C使△AOC的面积与（2）中△AOB的最大面积相等，若存在，求出点C的横坐标；若不存在说明理由。

Answer 1

解：（1）二次函数y=x 2 +bx+c图象的对称轴是直线x=1，且过点A（-1，0）， 代入得：- =1，1-b+c=0， 解得：b=-2，c=-3， 所以二次函数的关系式为：y=x 2 -2x-3；
（2）抛物线与y轴交点B的坐标为（0，- ）， 设直线AB的解析式为y=kx+m， ∴ ， ∴ ， ∴直线AB的解析式为y= x- ， ∵P为线段AB上的一个动点， ∴P点坐标为（x， ），（0＜x＜3） 由题意可知PE∥y轴， ∴E点坐标为（x， ）， ∵0＜x＜3， ∴PE=（ ）-（ ）=- ；
（3）由题意可知D点横坐标为x=1，又D点在直线AB上， ∴D点坐标（1，-1）， ①当∠EDP=90°时，△AOB∽△EDP， ∴ ， 过点D作DQ⊥PE于Q， ∴x Q =x P =x，y Q =-1， ∴△DQP∽△AOB∽△EDP， ∴ ， 又OA=3，OB= ，AB= ， 又DQ=x-1， ∴DP= （x-1）， ∴ ， 解得：x=-1± （负值舍去）， ∴P（-1，）（如图中的P1点）； ②当∠DEP=90°时，△AOB∽△DEP， ∴ ， 由（2）PE=- ，DE=x-1， ∴ ， 解得：x=1± ，（负值舍去）， ∴P（1+ ， -1）（如图中的P 2 点）； 综上所述，P点坐标为（ -1， ）或（1+ ， ）。