矩阵的一个小问题

Question

问题一：什么叫对角矩阵？除主对角线上其余位置的元素都为0的矩阵？那主对角线是能否为0？比如说一个n阶矩阵a11=1 其余位置都为0的矩阵是否是主对角矩阵?
问题二：什么叫一个矩阵可对角化？
问题三：哈密顿-凯莱定理的证明 A是数域P上的nn矩阵，f(s)=/sE-A/是A的特征多项式，则f(A)=0
我看书上证明怎么写这么多啊？不是直接把s=A代出来f(A)=/AE-A/=/A-A/=0吗？
问题二补充：是不是所有矩阵都可以对角化？
问题三补充：问题三如果我说错了，请说明我错在哪？如果我说对了那哈密顿-凯莱定理不一眼就可以看出来了那还需要证明干嘛？况且书上对哈密顿-凯莱定理的证明上上去还很复杂。这是怎么回事？

Answer 1

对角矩阵就是除主对角线外，其它位置都为零的矩阵。或者等价的定义为满足A'=A的矩阵
对角矩阵只要求对角线以外的位置都为零，对角线上是否出现零没有关系，全零矩阵也是对角矩阵。一个n阶矩阵a11=1 其余位置都为0的矩阵也是对角矩阵。
矩阵可对角化分为两种，一种是相似对角化，也就是存在可逆矩阵X，使得X^(-1)AX为对角矩阵。另一种是合同对角化。也就是存在可逆矩阵C，使得C'AC为对角矩阵。
我们一般所说的对角化指相似对角化
不是所有的矩阵都可以相似对角化，但任何矩阵都可以相似化为若尔当标准型。
所有的矩阵都可以合同对角化。
在刚学习哈密顿-凯莱定理时，很多学生认为是想当然成立的，其实不然，这里关键的原因在于A是一个矩阵，不是一个数，所以是不能直接代入的，矩阵和数有很多不同，运算和性质都不同。不能想当然的认为对数成立的式子对矩阵也成立。要另行对矩阵的情况重新进行严格的证明。

Answer 2

1、对角矩阵，主对角线为任意常数，其余都为0.a11=1,其余都为0，是。
2、一个矩阵可以将它初等变化为对角矩阵,即错在可逆矩阵P，使得P-1AP=B,B为对角矩阵。
3、是的。

Answer 3

1.
n阶矩阵a11=1 其余位置都为0的矩阵不是主对角矩阵?
2.
就是经过矩阵等价变换可以成为对角矩阵的就叫
一个矩阵可对角化
3.
不是