如何求矩阵的极大无关组？

Question

如题所述

Answer 1

矩阵中看极大线性无关组的方法如下：

1.求出矩阵的秩，即其最大特征值所在的行数（或列数）。

2.找出每一行第一个非零元素所在的列，该列向量组是极大线性无关组。

3.对于矩阵中的每个非零元素，找出其所在的行及列，该行及列向量组是极大线性无关组。

以上三步基本就能找出矩阵中的极大线性无关组，但还需要注意特殊情况，比如秩为0的矩阵不一定是极大线性无关组。

含义：

因为线性无关的向量组就是它自身的极大线性无关组，所以一向量组线性无关的充分必要条件为它的秩与它所含向量的个数相同。每一向量组都与它的极大线性无关组等价。由等价的传递性可知，任意两个等价向量组的极大线性无关组也等价。所以，等价的向量组必有相同的秩。

含有非零向量的向量组一定有极大线性无关组，且任一个无关的部分向量组都能扩充成一个极大线性无关组。全部由零向量组成的向量组没有极大线性无关组，规定这样的向量组的秩为零。

判断极大线性无关组方法：

先求出秩，根据秩的大小与向量的阶数比较判断出线性是否相关。极大线性无关组是线性空间的基对向量集的推广，设V是域P上的线性空间，S是V的子集。若S的一部分向量线性无关，但在这部分向量中，加上S的任一向量后都线性相关，则称这部分向量是S的一个极大线性无关组。

V中子集的极大线性无关组不是惟一的，例如，V的基都是V的极大线性无关组。它们所含的向量个数基数相同。V的子集S的极大线性无关组所含向量的个数（基数），称为S的秩。只含零向量的子集的秩是零。