如图，点M为正三角形ABD的边AB所在直线上的任意一点（点B除外），做角DMN=60,射线MN与角DBA外角的平分线

Question

如图，点M为正三角形ABD的边AB所在直线上的任意一点（点B除外），做角DMN=60,射线MN与角DBA外角的平分线交于点N，DM与MN有怎样的数量关系？（提示：过点M作MG∥BD交AD于点G）

Answer 1

DM和MN是相等关系
证明：过点M作ME平行BD交AD于E
所以角EMD=角MDB
角DEM+角ADB=180度
DE/AD=BM/AB
角AEM=角ADB
角AME=角ABD
因为三角形ABD是正三角形
所以AD=AB
角ADB=角ABD=60度
所以角DEM=120度
DE=BM
因为BN是角ABD的外角平分线
所以角DBN=60度
所以角MBN=120度
所以角DEM=角MBN=120度
因为角DMN=60度
所以角DMN=角DBN=60度
所以D,M,B,N四点共圆
所以角MDB=角N
所以角EMD=角N
因为角DEM=角MBN=120度（已证）
DE=BM（已证）
所以三角形DEM和三角形MBN全等（AAS)
所以DM=MN

Answer 2

DM和MN是相等关系
证明：过点M作ME平行BD交AD于E
所以角EMD=角MDB
角DEM+角ADB=180度
DE/AD=BM/AB
角AEM=角ADB
角AME=角ABD
因为三角形ABD是正三角形
所以AD=AB
角ADB=角ABD=60度
所以角DEM=120度
DE=BM
因为BN是角ABD的外角平分线
所以角DBN=60度
所以角MBN=120度
所以角DEM=角MBN=120度
因为角DMN=60度
所以角DMN=角DBN=60度
所以D,M,B,N四点共圆
所以角MDB=角N
所以角EMD=角N
因为角DEM=角MBN=120度（已证）
DE=BM（已证）
所以三角形DEM和三角形MBN全等（AAS)
所以DM=MN

Answer 3

俊狼猎英团队为您解答：

答：DM=MN。
理由：
在AD上取一点P，使DP=BM，则AP=AM，
∵ΔABD是等边三角形，∴∠A=∠ABD=60°，
∴ΔAPM为等边三角形，∴∠APM=60°，∴∠DPM=120°，
又∠ABD的外角为120°，BN为角平分线，∴∠DBN=60°，∴∠MBN=120°，
∵∠DMN=60°，∴∠BMN+∠AMD=120°，
∠A=60°，∠AMD+∠ADM=120°，∴∠BMN=∠ADM，
在ΔDPM与ΔMBN中，
∠BMN=∠ADM，PD=BM，∠DPM=∠MBN=120°，
∴ΔDPM≌ΔMBN，
∴DM=MN。

Answer 4

采用截长补短法，在AD上截取AF=AM,连接MF,先证三角形AMF是等边，再证三角形FDM全等于三角形MBN,关键是证角N=角FMD.因为角N=角MDB,角MDB=角DMF.

Answer 5

DM=MN?