方向导数和梯度问题

Question

等值线f(x,y)=c上任一点P(x，y）处的一个单位法向量为n，梯度的模丨▽f(x,y)丨就是沿这个法线n方向的方向导数∂f/∂n，于是有▽f(x,y)=（∂f/∂n）*n，这句话怎样理解呢？

Answer 1

方向导数的计算公式：∂f/∂n＝<▽f(x,y)，n>，（×）
其中<>表示内积，即对应分量乘积之和。
现在是等值线的法向量n＝(∂f/∂x，∂f/∂y)/||(∂f/∂x，∂f/∂y)||＝▽f(x,y)/||▽f(x,y)||，（×2）
因此代入（×）知道∂f/∂n＝||▽f(x,y)||，
故（×2）式就是▽f(x,y)＝（∂f/∂n）*n

Answer 2

你说的n就是图中的L，方向导数=（x，y的偏导数）*（cosα，cosβ）