卷积问题

Question

卷积是什么意义，为什么要两个信号相乘积分，还有为什么有两个时间？一个t，一个t（tao），tao和t怎么理解。求大神指导啊！讲一下自己通俗的理解~~

Answer 1

卷积是针对线性时不变系统而言的，设一个LTI系统的输入为x(t)，单位冲激响应为h(t)，那么输出就为y(t)=x(t)*h(t)，下面推导：
如果输入为δ(t)，得到的输出为h(t)，为了方便我记作δ(t)->h(t)
那么由时不变性，输入延时τ，输出也延时τ，则有(注意区分t和τ)：
δ(t-τ)->h(t-τ)
由均匀性，输入乘以一个数，输出也相应乘以该数，有
x(τ)δ(t-τ)->x(τ)h(t-τ)
再由叠加性，对所有不同τ进行叠加，那么输出也为原来的叠加，有
∫x(τ)δ(t-τ)dτ->∫x(τ)h(t-τ)dτ
左边积分的结果为x(t)，右边即为卷积。
上面是严格推导，那么怎么理解这个过程呢，就是一个输入信号x(t)可以看做δ函数的叠加（有加权系数），而系统输入δ函数的输出就是h(t)，所以总输出呢，就是这些分量的叠加，这个叠加就是积分的过程，也就是卷积。

Answer 2

一个信号a（t）通过某个系统（假设系统函数为h（t））后，得到处理后的的信号y（t）就是a（t）与h（t）的卷积。
卷积有线性卷积和循环卷积。线性卷积表示一个信号通过一个系统的输出，这个信号可以是无限长的，也可以是有限长的，可以的离散的也可以是连续的。
循环卷积（也叫圆周卷积）是一个有限长序列通过一个数字系统后的输出序列。