怎么证明周长相等的长方形与正方形 正方形的面积最大

Question

如题所述

Answer 1

这个证明方法要用到高中数学中的基本不等式“a+b≥2√ab”，当且仅当a=b时取等号。

设某个长方形的长是a，宽是b，周长是C。

根据长方形的周长计算公式可知a+b=C/2

再利用上述不等式公式可知：

a+b≥2√ab，当且仅当a=b时取等号。

所以C/2≥2√ab

ab≤(C/4)^2

该不等式左侧ab就是长方形的面积，说明面积有个最大值(C/4)^2，而要取这个最大值，就必须a=b，此时长方形变为正方形。

Answer 2

设正方形的边长是a，则它的周长是4a，面积是a²。
设与这个正方形周长相等的长方形的长是a+b，则它的宽是
4a÷2–(a+b)=a–b
它的面积是
(a+b)(a–b)=a²–b²
很显然，这个长方形只有在b=0的时候，也就是变成正方形的时候，面积才能达到最大(等于a²)。

Answer 3

这个得引入均值不等式证明，
设长方形的长为a，宽为b，正方形的长为m
则a+b=2m
长方形的面积s1=ab，正方形的面积是s2=m^2
则由m=(a+b)/2
即m^2=[(a+b)/2]^2≥ab，当切仅当a=b时等号成立
即s2≥s1

Answer 4

设长方形长宽分别为a,b(a≠b)，则正方形边长为(a+b)/2,
正方形面积为S=(a+b)＾2/4
=(a2+b2+2ab)/4
因为a2+b2≥2ab，当且仅当a=b时等号成立，又因为a≠b，所以，a2+b2>2ab
所以S>(2ab+2ab)/4=ab
即正方形面积大于长方形面积。

Answer 5

证明：设矩形的边长为 x、y，周长为 m，面积为 S，则：

m=2(x+y)，         S=xy

由（x+y）²—4xy=（x—y）²≥0知，若x+y取定值，则当x=y时，xy取最大值

 故得：周长一定的矩形中，正方形的面积最大。