如果函数在某点的导数大于0.是否可以推导在某个很小的领域内，函数单调增，（由极限的局部保号性）？

Question

如果函数在某点的导数大于0.是否可以推导在某个很小的领域内，函数单调增，（由极限的局部保号性）？如果函数在某点的导数大于0.是否可以推导在某个很小的领域内，函数单调增，（由极限的局部保号性）？

Answer 1

先给结论，具体证明和细节看图。

1.点x0的导数>0，可以推出该点左邻域内所有函数值都比该点小，右邻域内都比该邻域大。

2.区间内的单调性，需要区间内的导数都>=0或者<=0，一点的单调性并没有用。（PS.感性认识：单调性是比大小更强的结论，所以需要更强的条件。）

Answer 2

单调的定义，对于任意的x1，x2，当x1<x2时，恒有f(X1)<f(X2),则称f(x)单调增加
但下面的说法是错误的，
对于任意的x1，x2，当x1<a<x2时，恒有f(X1)<f(X2),则称f(x)单调增加
而对于这套题目，a就等于零，你仔细想想，是不是？

Answer 3

举个反例你就知道了，不多说直接看图，

不知道有没有帮到你_(•̀ω•́ 」∠)_

Answer 4

函数在某一点处 导数 大于0 不能保证导数在这点的邻域内连续，更不能保证导数在邻域内一直 大于0 ，若f ’(x)在去心邻域内可以保正号那就可以推出在邻域内单调递增。

Answer 5

不能，好好理解极限保号性含义追答

极限保号性是针对函数在某一点极限存在而言的，然后讨论该函数在邻域内的符号

并不是针对函数在某一点导数而言

数学要严格套用性质，否则出错了

追问

但是把导数写成定义式就会变成极限

如果是右侧导数，算出来结果是正的，分母大于0则fx大于fx0,如果是左侧导数，结果算出来也是正的，分母小于0,则fx小于fx0，前辈，这不是单调增吗？

追答

但那个极限式与函数保号性极限式形式一样吗

追问

就算不是局部保号性，那我刚发的这个，也可以推导单调增吧

追答

给你个反例体会一下

函数在趋于0时无限震荡

你可以想象波的减弱

即使波动不断减弱，但波动不停，增减性不断变化

追问

但是前辈，我说的只是一个很小的领域，你说的区间太大了

在x趋近x0这个非常小的领域内

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