怎样简单证明凸函数(或凹函数)的性质? 急着要啊

Question

就是那个不等式的性质,怎么简单证明>?

Answer 1

设函数f(x)在定义域内连续可导且满足f''(x)>0
设x1<x2,0<a<1
证明:f[ax1+(1-a)x2]<af(x1)+(1-a)f(x2)
因ax1+(1-a)x2-x1=(1-a)(x2-x1)>0
则x1<ax1+(1-a)x2
根据拉格朗日中值定理
必存在x1<μ<
ax1+(1-a)x2
使f[ax1+(1-a)x2]-f(x1)=
(1-a)(x2-x1)f'(μ)
同理
存在ax1+(1-a)x2<ξ<x2
使f(x2)-
f[ax1+(1-a)x2]=
a(x2-x1)f'(ξ)
故a{f[ax1+(1-a)x2]-f(x1)}-
(1-a){f(x2)-
f[ax1+(1-a)x2]}=a
(1-a)(x2-x1)[f’(μ)-
f’(ξ)]
根据拉格朗日中值定理
有μ<δ<ξ
f'(μ)-
f'(ξ)=(μ-ξ)f''(δ)
因f''(x)>0
则f'(μ)-
f'(ξ)<0
则a{f[ax1+(1-a)x2]-f(x1)}-
(1-a){f(x2)-
f[ax1+(1-a)x2]}<0
整理后得f[ax1+(1-a)x2]<af(x1)+(1-a)f(x2)
若f''(x)<0结果相反

Answer 2

设函数f(x)在定义域内连续可导且满足f''(x)>0
设x1<x2,0<a<1
证明：f[ax1+(1-a)x2]<af(x1)+(1-a)f(x2)
因ax1+(1-a)x2-x1=(1-a)(x2-x1)>0
则x1<ax1+(1-a)x2
根据拉格朗日中值定理
必存在x1<μ< ax1+(1-a)x2
使f[ax1+(1-a)x2]-f(x1)= (1-a)(x2-x1)f'(μ)
同理
存在ax1+(1-a)x2<ξ<x2
使f(x2)- f[ax1+(1-a)x2]= a(x2-x1)f'(ξ)
故a{f[ax1+(1-a)x2]-f(x1)}- (1-a){f(x2)- f[ax1+(1-a)x2]}=a (1-a)(x2-x1)[f’(μ)- f’(ξ)]
根据拉格朗日中值定理
有μ<δ<ξ
f'(μ)- f'(ξ)=(μ-ξ)f''(δ)
因f''(x)>0
则f'(μ)- f'(ξ)<0
则a{f[ax1+(1-a)x2]-f(x1)}- (1-a){f(x2)- f[ax1+(1-a)x2]}<0
整理后得f[ax1+(1-a)x2]<af(x1)+(1-a)f(x2)
若f''(x)<0结果相反本回答被网友采纳

Answer 3

先设X1<X2,并且X1.X2都是在定义域上的。然后用f(x1)-f(x2),如果结果大于0就是凹函数，反之就是凸函数。
或者用f(x1)/f(x2)如果大于1就是就是凹函数，反之就是凸函数

Answer 4

设函数f(x)在定义域内连续可导且满足f''(x)>0
设x1
0
则x1
0
则f'(μ)-
f'(ξ)<0
则a{f[ax1+(1-a)x2]-f(x1)}-
(1-a){f(x2)-
f[ax1+(1-a)x2]}<0
整理后得f[ax1+(1-a)x2]

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Answer 5

写具体一点