矩阵可对角化的充分必要条件是什么

Question

如题所述

Answer 1

矩阵可对角化的充分必要条件是：

1、n阶方阵存在n个线性无关的特征向量

推论：如果这个n阶方阵有n个不同的特征值,那么矩阵必然存在相似矩阵

2、如果阶n方阵存在重复的特征值,每个特征值的线性无关的特征向量的个数恰好等于该特征值的重 复次数

可对角化矩阵和映射在线性代数中有重要价值，因为对角矩阵特别容易处理： 它们的特征值和特征向量是已知的，并通过简单的提升对角元素到同样的幂来把一个矩阵提升为它的幂。若尔当-谢瓦莱分解表达一个算子为它的对角部分与它的幂零部分的和。

扩展资料：

如果A有n个线性无关的特征向量  ，与它们对应的特征值是  ，以 为列向量组作成一个可逆矩阵T，令  ，就得到  的n个线性无关的特征向量  ，用  作为V的基，则上述方程组成立，从而  在这组基下的矩阵是对角矩阵 B，并且  。

矩阵  可对角化的充要条件是  可以表为A的特征子空间的直和。

证明：若 A可对角化，根据定理1，它有n个线性无关的特征向量，将它们按所属的特征值进行分组得到特征向量组

其中子组  中各向量同属特征值  ，它们一定是A的特征子空间  的基(否则将不构成所在特征子空间的基的各子组扩充成所在特征子空间的基。

A的线性无关的特征向量的个数大于n，这与  矛盾)，于是