齐次线性方程组仅有零解的充要条件是矩阵的秩等于n。
齐次线性方程组仅有零解的充要条件是其系数矩阵的秩等于未知数的个数。当m等于n时候,方程只有零解,用克拉默法则。
此时方正A不等于0,也就是秩等于n,这里n可以看成未知数,m看成方程的个数,当m<n,方程一定有非零解,当m>n就要讨论秩的问题,当秩小于n一定有非零解,当秩等于n只有零解。
证明
对齐次线性方程组的系数矩阵施行初等行变换化为阶梯型矩阵后,不全为零的行数r(即矩阵的秩)小于等于m(矩阵的行数),若m<n,则一定n>r,则其对应的阶梯型n-r个自由变元,这个n-r个自由变元可取任意取值,从而原方程组有非零解(无穷多个解)。
以上内容参考:百度百科-齐次线性方程组