高中数学导数问题求详解

Question

已知函数f(x)=1/3x^3+mx^2-3m^2x+1,m∈R
（1）当m=1时，求曲线y=f(x)在点 [2，f（2）] 处的切线方程
（2）若f(x)在区间（-2,3）上是减函数，求m的取值范围

Answer 1

解：1 当m=1时，f '（x）=x^2+2x-3
f(x)=1/3x^3+x^2-3x+1
所以所求切线的斜率k=f '（2）=5，f（2）=5/3
又切线过点[2，f（2）] ,所以所求切线方程为y-5/3=5（x-2）
即y=5x-25/3
2 f '（x）=f '（x）=x^2+2mx-3m^2
由f '（x）=0，得：x=-3m或x=m
当m＞0时，-3m＞m，由题意，得：-3m≤-2 m≥3 解得；m≥3
当m＜0时，-3m＞m，由题意，得：-3m≥3 m≤-2 解得：m≤-2
综上，m属于（-无穷，-2]∪[3，+无穷0）

Answer 2

步骤应该没错吧……你最好自己重新算下……f'(x)=x^2+2mx-3 (1)设所求为y=kx+b 当m=1时 f'(x)=x^2+2x-3 k=f'(2)=5 把（2，f(2)）代入所设得b=-25/3 所以所求为y=5x-25/3 (2)由题得x^2+2mx-3m^2<0在（-2,3）上恒成立，即(x+3m)(x-m)<0若m>0 联立-3m<-2 m>2/3解得（2/3,3）若m<0联立m<-2 m>3解得m<-2