你好
高等代数的问题嘛……
设矩阵A的
特征多项式为f(t) = det (tI - A) //det表示
行列式，I表示
单位矩阵，t是数
将f(t)展开，按t的降幂排列：（顺便插一句，f(t)=0的解就是
特征值~）
f(t) = a[n] * t^n + a[n-1] * t^(n-1) + ... + a[0] //a[i]表示下标为i
事实上，观察f(t)对应的行列式可以发现，t的n次幂只有主对角线元素相乘才能组成，因此我们可以立刻得出结论：a[n]=1；
由Vieta定理（没听过？
韦达定理听过吧……
一元二次方程根与系数关系的那个~推广到n维情况）可知，a[n-1]=t[1]+t[2]+……+t[n]，a[0]=(-1)^n*t[1]*t[2]*……*t[n]。
再次观察det (tI-A)这个行列式，也只有主对角元的乘积中才能组成t的(n-1)次幂，这个东西要严谨地说明有点复杂，简单地说，行列式的展开就是在不同的行列各取一个元素相乘再求和而成为最终结果，这个和基于
拉普拉斯(Laplace)展开而定义的行列式定义是等价的。根据这个定义，我们可以找到说，若我们不是选择对角元为乘积因子，那么其次数至少会降到n-2次。而且这个(n-1)次幂比较特殊，其系数a[n-1]就是主对角元的和（
矩阵的迹）。详细证明可以参考各种代数学教科书，这里仅提供个低阶的例子：
[1, 0, 0] |t-1, 0, 0|
例如A=[1, 1, 0]，那么f(t)=|-1, t-1, 0| ，只有取(t-1)(t-1)(t-1)这一项里面才有t²出现，其它取法都
[0, 0, 1] |0, 0, t-1|
没有。
由上面正确而不严谨的结论可以知道，a[n-1]=主对角元元素之和=特征值之和；
至于后一结论，取t=0，则f(0) = (-1)^n*det A，因此a[0]=det A=特征值之积。
欢迎追问和补充
祝学习愉快~
追问呵呵，f（t）的表达式怎么出来的真心没看懂，基础不扎实啊！
追答上面说到的“展开”只是笼统意义下的展开。也就是特征多项式f(t)可以写成降幂形式的意思（有点像待定系数法的味道）~然后令f(t)=0，视作一个n次方程，利用Vieta定理得出结论~
追问Vieta定理是什么？