如何用行变换求解空间的基？

Question

如题所述

Answer 1

最简单最快速的方法是利用欧氏空间的一个定理：如果空间的维数为n，则空间内任意n个线性无关的向量可以做该空间的基底。矩阵的行秩等于列秩。

来看这道题：首先初等行变换矩阵变为阶梯型，发现该矩阵的秩为3。那么，这个矩阵中任意三个线性无关的行向量就是该矩阵行空间的基底，这个矩阵只有3个行向量，那这三个行向量就是基底。

然后看列空间，第一列与第四列明显线性无关。记这两条列向量为a1,a4，为了验证a2,a3中哪条向量与这两条线性无关，做出假设，a2与a1,a4线性相关，则存在数x,y,使得xa2+ya3=a2。得到x+y=3,2x+2y=1,3x+6y=4，光看前两个式子就知道这样的x,y不存在。所以a1,a2,a4线性无关，所以a1,a2,a4就是列空间的基底。

这个方法是极为快速简洁的方法，总比换底公式快的多的多。

零空间的基实际上笨法子就是最好的办法：初等行变换得如下矩阵
1 3 -2 1
0 -5 7 0
0 0 16 4
令x4=1,解得x3=-1/4,x2=-7/20,x1=-9/20
(-9/20 -7/20 -1/4 1)就是零空间的基底。实际上求零解空间的基底就是求Ax=0的基础解系。