奥数题：有16名学生参加一次数学竞赛。

Question

有16名学生参加一次数学竞赛。考题全是选择题，每题有四个选项。考完后发现任何两名学生的答案至多有一道题相同。问：这次竞赛最多有多少道选择题？(标准答案是5) 想请问： 1、此题本身是否有逻辑漏洞？因为假设考试共有N道题，且16名学生中有两名得到满分，则任何两名学生都会有N道题答案相同。 2、按照逻辑来说，我认为正确答案是本考试只有一道题，这样自然“任何两名学生的答案至多有一道题相同。”因为没有更多道题了，符合该题“至多有一道题相同”的要求。不知数学上是否成立? 3、标准答案5，是如何计算出来的？请各位大侠赐教，请详细写出思路。

Answer 1

1、
此题本身没有逻辑漏洞。
“有两名得到满分”的假设不满足题意，
由此得到的结论不能作为判断“原题有逻辑漏洞”的依据。
2、
如果考试只有一道题，
只是满足“任何两名学生的答案至多有一道题相同”的条件，
但并不满足“最多”这个条件，
所以，1道题不是所需要的答案。
3、
16个人回答同一道选择题，且每题有四个选项，
根据抽屉原理，每个人的答案至少和其他三个人的相同。
任选一个人来分析，可得以下推理过程：
①
当他回答第
1
题时，必然和
3
个人（第一组三个人）答案相同；
此时人数为
1+3×1
=
4
人；
②
当他回答第
2
题时，必然要和第一组共
3
个人的答案都不相同，
（因为要满足任何两名学生的答案至多有一道题相同）
而且必然和另外
3
个人（第二组三个人）答案相同；
此时人数为
1+3×2
=
7
人；
③
同理可得：
当他回答第
N
题时，必然要和前
(N-1)
组共
3(N-1)
个人的答案都不相同，
而且必然和另外三个人（第
N
组三个人）答案相同；
此时人数为
1+3N
人；
④
综上所述，当这次竞赛有
N
道选择题时，
N
必须满足不等式：
1+3N
≤
16
，
解得：
N
≤
5
；
即：这次竞赛最多有
5
道选择题。