高一数学题

Question

① 若圆1：X²+Y²=5与圆：（X-m）²+Y²=20（m∈R）相交于A.B两点，且两圆在点A.B处的切线互相垂直，则线段AB的长度是？两圆在切线处垂直是什么意思？
② 过点P（2,3）向圆上X²+Y²=1作两条切线PA,PB则弦AB所在的直线方程是？

Answer 1

1.画出草图，O1A⊥AO2，有勾股定理可得m的值，再用等面积法，求线段AB的长度．

两圆在切线处垂直意思是在A点分别作两圆的切线，切线垂直；同理在B点分别作两圆切线，切线垂直。

解：由题  O1（0，0）与O2：（m，0）
 √5 ＜|m|＜3√ 5 ，O1A⊥AO2，
m^2=( √5 )^2+(2 √5 )^2=25，∴m=±5
AB=2• (√5 • √20)/  5 =4
故答案为：4

2.P连接坐标原点O，则OP可求得，OA、OB分别垂直PA、PB，OP与OA的夹角为a，则可求得cosa，进而根据圆心到直线的距离求得圆心到直线的距离d，根据O，P坐标求得OP的斜率，则直线AB的斜率可求，进而设出该直线方程，根据点到直线的距离建立等式求得b，则直线AB的方程可得．

解：

如图所示，点P连接坐标原点O，则OP= √(9+4) = √13

OA、OB分别垂直PA、PB，OP与OA的夹角为a，则cosa=1  /√13 
圆心到直线AB的距离：d=OH=AO cosa=1 /√ 13 
直线OP的斜率  k'=3 /2 
则直线AB的斜率  k=-2 /3 ，设该直线方程为
y=(-2 /3) x+b，即  2x+3y-3b=0
由点到直线距离公式可得圆心（0，0）到直线AB的距离，即
|0+0-3b|  /√(9+4)  =d=1  /√13 
解得  b=(1 /3 *1)/3    或   b=-1/ 3 （舍去）
所以直线AB方程为：2x+3y-1=0
故答案为：2x+3y-1=0．

打字很辛苦啊，望采纳~

Answer 2

①两圆在切线处垂直是指三角形O1AO2是直角三角形，2倍三角形面积=根号5X根号20=m乘以二分之一AB，故AB长度=20/m