拉格朗日中值定理证明 如果函数f(x)和g(x)在(a,b)内可导,且f'(x)=g'(x),则f(x)和g(x)相差一个常数

Question

如果函数f(x)和g(x)在(a,b)内可导,且f'(x)=g'(x),则f(x)和g(x)相差一个常数，即f(x)-g(x)=C(C为常数)
求用拉格朗日中值定理证明

Answer 1

令h(t)=f(t)-g(t)，显然h(t)在[a0,x]上连续，在(a0,x)内可导，其中a<a0<x<b
则根据拉格朗日中值定理，存在k∈(a0,x)，使得：h'(k)=[h(x)-h(a0)]/(x-a0)
f'(k)-g'(k)=[f(x)-g(x)-f(a0)+g(a0)]/(x-a0)=0
f(x)-g(x)=f(a0)-g(a0)为一常数
由a0的任意性，可得：对任意x∈(a,b)，f(x)-g(x)=C，（C为常数）