倒数问题。函数f(x)=x的三次方+3bx的平方+3x有极值点

Question

函数f(x)=x的三次方+3bx的平方+3x有极值点（1）求函数f(x)的单调区间及b的取值范围 （2）若f(x)有两个极值点x1,x2且f(x1)+f(x2)=0求b的值

Answer 1

f(x)=x^3+3bx^2+3x
1、
求导：
f'(x)=3x^2+6bx+3
因为f(x)有极值点，故f'(x)=0有两不同的解
因此，△=36b^2-36=36(b^2-1)>0
那么，b∈(-∞,-1)∪(1,+∞)

由此，可以解得f'(x)=0的两根：
x1=(-3b+√△)/6
x2=(-3b-√△)/6

当x∈(-∞,x2)，f'(x)>0，f(x)单调递增
当x=x2，f'(x2)=0，f(x)取极大值
当x∈(x2,x1)，f'(x)<0，f(x)单调递减
当x=x1，f'(x1)=0，f(x)取极小值
当x∈(x1,+∞)，f'(x)>0，f(x)单调递增

2、
由韦达定理：
x1+x2=-2b
x1x2=1
直接推导：
(x1+x2)^2=(-2b)^2
x1^2+x2^2+2x1x2=4b^2
x1^2+x2^2=4b^2-2

f(x1)+f(x2)=0
即：
0=(x1^3+3bx1^2+3x1)+(x2^3+3bx2^2+3x2)
0=(x1^3+x2^3)+3b(x1^2+x2^2)+3(x1+x2)
0=(x1+x2)(x1^2-x1x2+x2^2)+3b(x1^2+x2^2)+3(x1+x2)
0=(-2b)(4b^2-2-1)+3b(4b^2-2)+3(-2b)
0=(-2b)(4b^2-3)+12b^3-6b-6b
0=-8b^3+6b+12b^3-12b
0=4b^3-6b
0=b(2b^2-3)
0=b(b+√(3/2))(b-√(3/2))
b1=0，b2=√(3/2)，b3=-√(3/2)
又因为b∈(-∞,-1)∪(1,+∞)
故，b=±√(3/2)

有不懂欢迎追问

Answer 2

（1）
f(x)=x³+3bx²+3x
f '(x)=3x²+6bx+3=3(x²+2bx+1) ①
因为原函数有极值点，所以①的判别式：4b²-4>0
b>1,或b<-1
令f '(x)>0
x>(-b+√(b²-1);或x<(-b-√(b²-1);
单调增区间：
(-∞,(-b-√(b²-1))，(-b+√(b²-1),+∞)
令f '(x)<0
(-b-√(b²-1)<x<(-b+√(b²-1);
单调减区间：
（-b-√(b²-1)，(-b+√(b²-1)）
（2）
令f '(x)=0 ==>
x²+2bx+1=0
x1+x2=-2b
x1*x2=1
y1+y2=(x1³+x2³)+3b(x1²+x2²)+3(x1+x2)=0
(x1+x2)[(x1+x2)²-3x1x2]+3b[(x1+x2)²-2x1x2]+3(x1+x2)
(-2b)[4b²-3]+3b[4b²-2]+3(-2b)
-8b³+6b+12b³-6b-6b=0
4b³-6b=0,
b(2b²-3)=0
b1=0; b2=√6/2; b3 = - √6/2
因为Δ=4b²-4>0,所以，b≠0
所以b＝±√6/2本回答被提问者和网友采纳