高数无穷小运算规则证明

Question

o(f(x))+o(f(x))=o(f(x))
具体的有o(x的平方）=o(x)还有个疑问，不是只有f(x)=o(g(x))这种形式吗？怎么还可以有单独的o(x)这种表示，代表什么意思？

Answer 1

严格的说，遇到小o的地方应理解为集合的运算，
比如o(f(x))+o(f(x))=o(f(x))，表示为
从第一个集合中任取一个元素，记为g1(x)，即lim g1(x)/f(x)=0;
从第二个集合中任取一个元素，记为g2(x)，即lim g2(x)/f(x)=0；
则g1(x)+g2(x)属于第三个集合，即
必有lim (g1(x)+g2(x))/f(x)=0。
因此o(x^2)=o(x)是正确的。
比如f(x)+o(g(x))=o(h(x))写法也是允许的，表示
从o(g(x))这个集合中取元素，记为f2(x)，则
f(x)+f2(x)是位于o(h(x))这个集合。追问

哦，我们高数老师有让我们证明 当X趋近于0的时候 证明o(x的平方)=o(x) 这个东西。这个怎么证明。

追答

与上面的证明完全类似。
任取f(x)=o(x^2)，即lim f(x)/x^2=0，
要证f(x)=o(x)，即lim f(x)/x=0成立。
写到这儿了，会证了吧？

Answer 2

o(f(x))是指 lim（x趋近于0）f（x）， o(x)是指 lim（x趋近于0）x
o(x的平方）不等于o(x)
f(x)=o(g(x))没多大意义

Answer 3

o(f(x))表示f(x)的高阶无穷小。g(x)=o(f(x)) ：表示 limf(x)=0,limg(x)=0 (即f(x),g(x)都是无穷小)且lim g(x)/f(x) =0
1、设g(x)=o(f(x)) ,h(x)=o(x),则
lim[g(x)+h(x)]/f(x) =limg(x)/f(x) + limh(x)/f(x) =0 极限的四则运算法则
所以g(x)+h(x) =o(f(x))
从而o(f(x))+o(f(x))=o(f(x))。即f(x)的两个高阶无穷小的和，仍是f(x)的高阶无穷小。结论可以推广到有限个
2、通常：o(x²)=o(x)不成立。