函数的单调性和奇偶性的解题方法（急需！）

Question

过两天就月考、我对这两个知识点可以说是一点也不懂
我只想知道解题的方法、
比如说要求得出一个函数的奇偶性、是增函数还是减函数
其他的等过了考试再想办法弄懂...

跪求额、解决了还可以加分

我用的教材是 人教A版
如果有教学视频也可以发给我

[email protected]

Answer 1

一、函数的单调性
根据定义解题：y=f(x)在其定义域内，当x1<x2时，若在某个区间f(x1)<f(x2)，则为单调递增；若在某个区间f(x1)>f(x2)，则为单调递减！
所以解题时，按如下过程：

1.先求定义域；
2.设x1<x2均属于定义域，然后计算f(x2)-f(x1)，最终结果化成几个含有如(x2-x1)等可以判别下负的因式的积；
3.然后根据x1、x2的取值范围分别讨论判断几个因式的积是>0还是<0，从而确定：f(x2)<f(x1)，单调减；还是：f(x2)>f(x1)，单调增！
4.综合结论！
严格按照上述步骤解题轻车熟路！

二、函数的奇偶性
定义：对于任意x∈R，都有f(-x)=(-x)^2=x^2=f(x).这时我们称函数f(x)=x^2为偶函数；
对于函数f(x)=x的定义域R内任意一个x，都有f(-x)=-f(x），这时我们称函数f(x)=x为奇函数。

解题：判断函数的奇偶性，首先是检验其定义域是否关于原点对称，然后再严格按照奇、偶性的定义经过化简、整理、再与f(x）比较得出结论！

判断或证明函数是否具有奇偶性的根据是定义、变式。
变式：奇：f(x)+f(-x)=0 f(x)*f(-x)=-f^2(x) f(x)/f(-x)=-1
偶：f(x)-f(-x)=0 f(x)*f(-x)=f^2(x) f(x)/f(-x)=1

Answer 2

求奇偶性很简单啊，把-x代入函数

尽量将f（-x）化成x的函数，得出f（-x）=f（x）就是偶函数，得出f（-x）=-f(x)就是奇函数

增减函数统一解题的方法是设定义域内 x1＜x2
然后代进去想办法求出来 f（x1）-f（x2） ＞0 或＜0
＞0是减函数，＜0是增函数

说白了就是会函数化简即可
不明白加Hi问我，明白采纳下，谢谢追问

额...能不能讲得简单详细一点、上了高中之后发现自己变数学白痴了.........

追答

那我把百度所以的思路给你吧，其实上面是我自己的思路，很简单实用的方法
你可以把你具体哪里不懂告诉我，我好为你解答

奇偶性
1．定义

一般地，对于函数f(x)

（1）如果对于函数定义域内的任意一个x，都有f(-x)=-f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数。

（2）如果对于函数定义域内的任意一个x，都有f(-x)=f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数。

（3）如果对于函数定义域内的任意一个x，f(-x)=-f(x)与f(-x)=f(x)同时成立，那么函数f(x)既是奇函数又是偶函数，称为既奇又偶函数。

（4）如果对于函数定义域内的任意一个x，f(-x)=-f(x)与f(-x)=f(x)都不能成立，那么函数f(x)既不是奇函数又不是偶函数，称为非奇非偶函数。

说明：①奇、偶性是函数的整体性质，对整个定义域而言

②奇、偶函数的定义域一定关于原点对称，如果一个函数的定义域不关于原点对称，则这个函数一定不是奇（或偶）函数。

（分析：判断函数的奇偶性，首先是检验其定义域是否关于原点对称，然后再严格按照奇、偶性的定义经过化简、整理、再与f(x)比较得出结论）

③判断或证明函数是否具有奇偶性的根据是定义
函数的单调性
1.先求定义域；
2.设x10还是f(x1)，单调增！
4.综合结论！

追问

基本上知道是怎么回事了、但是老师讲的例题判断出f(x2)-f(x1)大于或小于0后、还有几条式子证明的

追答

那是求别的吧，一般题目都有3问的

第一问奇偶性
第二问增减性
第三问证明不等式。。。
第三问要用到第一第二问的结果

追问

还想问一下、f(x)的f到底是什么意思...

追答

映射的意思

函数本身定义就是根据映射法则来的

f（x）就是关于x的映射

懂了吗？ 懂了帮忙采纳下，谢谢，不懂再追问

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Answer 3

关于具有单调性、奇偶性函数问题的解题方法（1）
答案:(－3，0)∪(0，3)
4.解析:∵f(x)为R上的奇函数
∴f( )=－f(－ ),f( )=－f(－ ),f(1)=－f(－1),
又f(x)在(－1，0)上是增函数且－ >－ >－1.
∴f(－ )>f(－ )>f(－1),∴f( )＜f( )＜f(1).
答案:f( )＜f( )＜f(1)
5.解:函数f(x)在(－∞,0)上是增函数，设x1＜x2＜0,因为f(x)是偶函数，所以f(－x1)=f(x1),f(－x2)=f(x2),由假设可知－x1>－x2>0,又已知f(x)在(0，+∞)上是减函数，于是有f(－x1)＜f(－x2),即f(x1)＜f(x2),由此可知，函数f(x)在(－∞,0)上是增函数.
6.解:(1)a=1.
(2)f(x)= .(x∈R) f－-1(x)=log2 .(－1＜x＜1 .
(3)由log2 >log2 log2(1－x)＜log2k,
∴当0＜k＜2时，不等式解集为{x|1－k＜x＜1 ;当k≥2时，不等式解集为{x|－1＜x＜1 .
7.解: ，
对x∈R恒成立,
∴m∈［ ,3］∪{ }.
8.解:(1)∵f(x)是奇函数，
∴f(－x)=－f(x),即
∴c=0,∵a>0,b>0,x>0,∴f(x)= ≥2 ，
当且仅当x= 时等号成立，于是2 =2,∴a=b2,
由f(1)＜ 得 ＜ 即 ＜ ,∴2b2－5b+2＜0,解得 ＜b＜2，又b∈N,∴b=1,∴a=1,∴f(x)=x+ .

关于具有单调性、奇偶性函数问题的解题方法（2）
4.解析:∵f(0)=f(x1)=f(x2)=0,
∴f(0)=d=0 :f(x)=ax(x－x1)(x－x2)=ax3－a(x1+x2)x2+ax1x2x，
∴b=－a(x1+x2),又f(x)在［x2,+∞ 单调递增，故a>0.
又知0＜x1＜x,得x1+x2>0,
∴b=－a(x1+x2)＜0.
答案:(－∞,0)
5.证明:(1）设－1＜x1＜x2＜+∞,则x2－x1>0,. >1且 >0,
∴ >0,又x1+1>0,x2+1>0
∴ >0,
于是f(x2)－f(x1)= + .>0
∴f(x)在(－1，+∞)上为递增函数.
(2)证法一:设存在x0＜0(x0≠－1)满足f(x0)=0,
则 且由0＜ ＜1得0＜－ ＜1,
即 ＜x0＜2与x0＜0矛盾，故f(x)=0没有负数根.
证法二:设存在x0＜0(x0≠－1)使f(x0)=0,若－1＜x0＜0,
则 ＜－2, ＜1,∴f(x0)＜－1与f(x0)=0矛盾，
若x0＜－1,则 >0,. >0，
∴f(x0)>0与f(x0)=0矛盾，故方程f(x)=0没有负数根.
6.证明:∵x≠0,∴f(x)= ,
设1＜x1＜x2＜+∞,则 .

∴f(x1)>f(x2),故函数f(x)在(1，+∞)上是减函数.
(本题也可用求导方法解决)
7.证明:(1）不妨令x=x1－x2,
则f(－x)=f(x2－x1)= .
=－f(x1－x2)=－f(x).
∴f(x)是奇函数.
(2)要证f(x+4a)=f(x),可先

请采纳

Answer 4

奇偶性
就是求f（-x）观察是否等于f（x）或-f（x）
若看不出来，可以尝试求和或作差（f（-x）+f（x）=0，就是奇函数，f（-x）-f（x）=0就是偶函数）

增减性
①是看是否为常见的函数
②观察是否可以拆成常见的函数，同增异减（复合函数，就是两个常见函数相乘）
③实在不行用定义（我知道你不会求导数）设在定义内x1<x2
f（x1）-f（x2）>0减函数
f（x1）-f（x2）<0增函数

Answer 5

奇偶性：最简单的方法：x=正负1 代到函数里面 得到的值 是一样的 大概是偶函数 相反的 奇函数，这只能用于最快的基本判定，最好还是用 x和-x带进去看看
单调性就求导~