怎么判断函数可导

Question

如题所述

Answer 1

判断一个函数是否可导的方法：即设y=f(x)是一个单变量函数，如果y在x=x0处左右导数分别存在且相等，则称y在x=x[0]处可导。

具体步骤：

1、设f(x)在x0及其附近有定义，则当a趋向于0时，若[f(x0+a)-f(x0)]/a的极限存在，则称f(x)在x0处可导。

2、若对于区间(a，b)上任意一点m，f(m)均可导，则称f(x)在(a，b)上可导。

函数在定义域中一点可导需要一定的条件：函数在该点的左右导数存在且相等，不能证明这点导数存在。只有左右导数存在且相等，并且在该点连续，才能证明该点可导。

可导的函数一定连续；连续的函数不一定可导，不连续的函数一定不可导。

注意点：

首先是判断函数的连续性、极限是否存在、函数是否间断，如果不满足条件，则不可能可导；然后是判断导数的左右极限是否相等，可以得出是否可导的结论。

最后，如果函数是光滑的，那么这个函数就是可导的。需要注意的是，只有在函数满足所有条件时，才可被称为可导函数，否则就是不可导的。

函数的基础定义

元素

输入值的集合X被称为f的定义域；可能的输出值的集合Y被称为f的值域。函数的值域是指定义域中全部元素通过映射f得到的实际输出值的集合。注意，把对应域称作值域是不正确的，函数的值域是函数的对应域的子集。

计算机科学中，参数和返回值的数据类型分别确定了子程序的定义域和对应域。因此定义域和对应域是函数一开始就确定的强制进行约束。另一方面，值域是和实际的实现有关。

分类

满射函数，其值域即为其对映域。即：对映射f的对映域中之任意y，都存在至少一个x满足 y=f（x）。

双射函数，既是单射的又是满射的。也叫一一对应。双射函数经常被用于表明集合X和Y是等势的，即有一样的基数。如果在两个集合之间可以建立一个对应，则说这两个集合等势。