【计算答案】 ∠ABP=20°
【求解思路】
1、由于 △APC 是一个等边三角形，则根据其性质有每个内角都等于60°，每条边都相等。
2、已知BP=PC，由此得到 △APB 是一个等腰三角形，∠ABP=∠BAP
3、对于△BPC，根据三角形的内角和的性质，有 ∠CBP+∠BCP+∠BPC=180°
4、根据周角定义，有∠BPC+∠APC+∠APB=360°
5、对于△BPA，根据三角形的内角和的性质，有 ∠PBA+∠PAB+∠APB=180°，由此可以得到∠ABP的值。
【求解过程】
解：由于 △APC 是一个等边三角形，则有
∠APC=∠PCA=∠CAP=60°，AP=PC=CA
已知BP=PC，则 BP=AP，所以 △APB 是一个等腰三角形，∠ABP=∠BAP
对于△BPC，根据三角形的内角和的性质，有
∠CBP+∠BCP+∠BPC=180°，
∠BPC=180°-(∠CBP+∠BCP)=180°-2×10°=160°
根据周角定义，有∠BPC+∠APC+∠APB=360°，则有
∠APB=360°-(∠APC+∠BPC)=360°-60°-160°=140°
又根据三角形的内角和的性质，有 ∠ABP+∠BAP+∠APB=180°，所以
∠ABP+∠BAP=180°-∠APB
2∠ABP=180°-140°=40°
∠ABP=20°
【本题知识点】
1、等边三角形。等边三角形（又称正三边形），为三边相等的三角形，其三个内角相等，均为60°，它是锐角三角形的一种。等边三角形也是最稳定的结构。等边三角形是特殊的等腰三角形，所以等边三角形拥有等腰三角形的一切性质。
2、等腰三角形。等腰三角形，是指至少有两边相等的三角形。相等的两个边称为这个三角形的腰。等腰三角形中，相等的两条边称为这个三角形的腰，另一边叫做底边。两腰的夹角叫做顶角，腰和底边的夹角叫做底角。等腰三角形的两个底角度数相等（简写成“等边对等角”）。
3、三角形内角和定理。三角形内角和为180°。
4、周角。一条射线绕着它的端点旋转一周所形成的角。周角等于360°，是角的一边绕着顶点旋转一周与另一边重合时所形成的角。