x=a处导数存在,x=a的一个领域内连续吗

Question

如题所述

Answer 1

x=a处导数存在,则在x=a的一个领域内不一定连续。

所谓可导必连续，仅仅是说，若函数在一点可导，则函数在该点连续，而无法断言函数在这点附近的连续性，不过，却可以推出函数在这点的某个邻域内有定义。

这里我举一个反例。考察函数 f(x)=x2D(x), 其中 D(x) 是Dirichlet函数。容易验证， f(x) 在 x=0 可导，但在 x≠0 的任何地方都不连续。