设数列{an}的前n项和为Sn，且Sn=2-1/2^n-1,{bn}为等差数列，且a1=b1,a2(b2-b1)=a1

Question

设数列{an}的前n项和为Sn，且Sn=2-1/2^n-1,{bn}为等差数列，且a1=b1,a2(b2-b1)=a1
（1）求数列{an}和{bn}通项公式
（2）设cn=bn/an,求数列{cn}的前n 项和Tn
﹙3﹚若对任意正整数n，不等式Tn＞t2∧n﹣9均成立，求t的最大值。

Answer 1

Sn=2-1/2^(n-1)
S(n-1)=2-1/2^(n-2)
n>1时，
an=Sn-S(n-1)=1/2^(n-1)
当n=1
a1=S1=1符合an的通项公式
∴an=1/2^(n-1)
b1=a1=1,
d=b2-b1=a1/a2=1/(1/2)=2
所以,bn=1+2(n-1)=2n-1
(2)cn=(2n-1)/(1/2^(n-1))=(2n-1)*2^(n-1)=1/2*(2n-1)*2^n
错位相减法:
Tn=1/2*1*2+1/2*3*2^2+....+1/2*(2n-1)*2^n
2Tn=1/2*1*2^2+1/2*3*2^3+...+1/2(2n-1)*2^(n+1)
Tn-2Tn=1+1/2[2*2^2+2*2^3+...+2*2^n]-1/2(2n-1)*2^(n+1)
=1+4*(1-2^(n-1))/(1-2)-1/2(2n-1)2^(n-1)
=1+4*2^(n-1)-4-1/4(2n-1)2^n
即Tn=7-2*2^n+1/4(2n-1)2^n

Answer 2

Sn=2-1/2^(n-1)
S(n-1)=2-1/2^(n-2)
n>1时，
an=Sn-S(n-1)=1/2^(n-1)
当n=1
a1=S1=1符合an的通项公式
∴an=1/2^(n-1)
b1=a1=1,
d=b2-b1=a1/a2=1/(1/2)=2
所以,bn=1+2(n-1)=2n-1
(2)cn=(2n-1)/(1/2^(n-1))=(2n-1)*2^(n-1)=1/2*(2n-1)*2^n
错位相减法:
Tn=1/2*1*2+1/2*3*2^2+....+1/2*(2n-1)*2^n
2Tn=1/2*1*2^2+1/2*3*2^3+...+1/2(2n-1)*2^(n+1)
Tn-2Tn=1+1/2[2*2^2+2*2^3+...+2*2^n]-1/2(2n-1)*2^(n+1)
=1+4*(1-2^(n-1))/(1-2)-1/2(2n-1)2^(n-1)
=1+4*2^(n-1)-4-1/4(2n-1)2^n
即Tn=7-2*2^n+1/4(2n-1)2^n

Answer 3

（1）n=1,a1=s1=1/2
n>=2s,an=Sn-Sn-1=(1/2)^n
所以an =(1/2)^n
b1=1/2,b2=a1/a2+b1=5/2
d=b2-b1=2
bn=1/2+(n-1)*2=2n-3/2
(2)cn=(2n-3/2)/(1/2)^n
=(2n-3/2)*(2^n)
Tn=1/2*2+5/2*(2^2)+.......+(2n-3/2)*(2^n)
2Tn= 1/2*(2^2)+5/2*(2^3)+......+（2n-7/2）*(2^n)+(2n-3/2)*[2^(n+1)]
错位相减，得到-Tn=1+2*[(2^2)+2^3+......+2^n]-(2n-3)*[2^(n+1)]
=2^(n+1)*(7/2-2n)-7
所以Tn=7-2^(n+1)*(7/2-2n)
(3)第三个是Tn >t*(2^n)-9吗？追问

第三问！！！

追答

你把那个题目再写一遍，那个是Tn>t*(2^n)-9吗？
如果是，则（2n-7/2）*2^（n+1）>t*(2^n)-9
4n-7>t-16
t<4n+9
tmax=12

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