不一定
（1）连续函数的导数连续的例子很多，例如
f（x）=x，f'（x）=1，显然f'（x）在（-∞，+∞）内连续
（2）连续函数的导数不连续的例子：
f（x）=x²sin（1/x）（x≠0）
0（x=0）
f'（0）=lim（x→0）［f（x）-f（0）］/（x-0）=lim（x→0）［xsin（1/x）］=0
∴f'（x）=2xsin（1/x）-cos（1/x）（x≠0）
=0（x=0）
f'（x）在x=0处不连续
法则
定理一 在某点连续的有限个函数经有限次和、差、积、商（分母不为0） 运算，结果仍是一个在该点连续的函数。
定理二 连续单调递增 （递减）函数的反函数，也连续单调递增 （递减）。
定理三 连续函数的复合函数是连续的。
这些性质都可以从连续的定义以及极限的相关性质中得出。
以上内容参考：百度百科-连续函数
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