如图（1）所示，OP是角MON的平分线，请你利用该图形画一对以OP所在直线为对称轴的全等三角形

Question

如图（1）所示，OP是角MON的平分线，请你利用该图形画一对以OP所在直线为对称轴的全等三角形，请你参考
悬赏分：0 - 解决时间：2009-6-11 22:09
1）如图②，在△ABC中，∠ACB是直角，∠B=60°，AD、CE分别是∠BAC、∠BCA的平分线，AD、CE相交于点F。请你判断并写出FE与FD之间的数量关系；
（2）如图③，在△ABC中，如果∠ACB不是直角，而(1)中的其它条件不变，请问，你在(1)中所得结论是否仍然成立？说明理由
如若有∠2∠3请说明理由！

Answer 1

解答：解：在OP上任找一点E，过E分别做CE⊥OA于C，ED⊥OB于D．如图，
（1）结论为EF=FD．
如图2，在AC上截取AG=AE，连接FG．
∵AD是∠BAC的平分线，
∴∠1=∠2，
在△AEF与△AGF中， {AG=AE∠1=∠2AF=AF，
∴△AEF≌△AGF（SAS）．
∴∠AFE=∠AFG，FE=FG．
由∠B=60°，AD，CE分别是∠BAC，∠BCA的平分线，
∵2∠2+2∠3+∠B=180°，
∴∠2+∠3=60°．
又∠AFE为△AFC的外角，
∴∠AFE=∠CFD=∠AFG=∠2+∠3=60°．
∴∠CFG=60°．
即∠GFC=∠DFC，
在△CFG与△CFD中， {∠GFC=∠DFCFC=FC∠3=∠4，
∴△CFG≌△CFD（ASA）．
∴FG=FD．
∴FE=FD．

（2）EF=FD仍然成立．
如图3，
过点F分别作FG⊥AB于点G，FH⊥BC于点H．
∴∠FGE=∠FHD=90°，
∵∠B=60°，且AD，CE分别是∠BAC，∠BCA的平分线，
∴∠2+∠3=60°，F是△ABC的内心
∴∠GEF=∠BAC+∠3=60°+∠1，
∵F是△ABC的内心，即F在∠ABC的角平分线上，
∴FG=FH（角平分线上的点到角的两边相等）．
又∠HDF=∠B+∠1（外角的性质），
∴∠GEF=∠HDF．
在△EGF与△DHF中， {∠GEF=∠HDF∠FGE=∠FHD=90°FG=FH，
∴△EGF≌△DHF（AAS），
∴FE=FD．

Answer 2

朋友，做这一题，首先要明白它所考查的知识点及出题人的意图，应该是：
①首先过点F作FM⊥BC于M．作FN⊥AB于N，连接BF，根据角平分线的性质，可得FM=FN，又由在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=60°，求得∠NEF=75°=∠MDF，又由∠DMF=∠ENF=90°，利用AAS，即可证得△DMF≌△ENF，由全等三角形的对应边相等，即可证得FE=FD；
②过点F作FM⊥BC于M．作FN⊥AB于N，连接BF，根据角平分线的性质，可得FN=FM，由∠ABC=60°，即可求得∠MFN=120°，∠EFD=∠AFC=120°，继而求得∠DFM=∠DFE，利用ASA，即可证得△DMF≌△ENF，由全等三角形的对应边相等，即可证得FE=FD．
解：①相等，
过点F作FM⊥BC于M．作FN⊥AB于N，连接BF，
∵F是角平分线交点，
∴BF也是角平分线，
∴MF=FN，∠DMF=∠ENF=90°，
∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=60°，
∴∠BAC=30°，
∴∠DAC=1 2 ∠BAC=15°，
∴∠CDA=75°，
∵∠MFC=45°，∠MFN=120°，
∴∠NFE=15°，
∴∠NEF=75°=∠MDF，
∴△DMF≌△ENF，
∴FE=FD；
②成立．
过点F作FM⊥BC于M．作FN⊥AB于N，连接BF，
∵F是角平分线交点，
∴BF也是角平分线，
∴MF=FN，∠DMF=∠ENF=90°，
∴四边形BNFM是圆内接四边形，
∵∠B=60°，
∴∠MFN=180°-∠B=120°，
∵∠CFA=180°-（∠FAC+∠FCA）=180°-1 2 （∠ABC+∠ACB）=180°-1 2 （180°-∠ABC）=180°-½（180°-60°）=120°，
∴∠DFE=∠CFA=120°．
又∵∠MFN=∠MFD+∠DFN，∠DFE=∠DFN+∠NFE，
∴∠DFM=∠DFE，
∴△DMF≌△ENF，
∴FE=FD．
此题考查了角平分线的性质，全等三角形的判定与性质以及直角三角形的性质．此题难度较大，解题的关键是注意数形结合思想的应用，注意辅助线的作法．
希望对你有帮助，一块学习吧！我QQ：1173831091

Answer 3

如图1，OP是∠MON的平分线，请你利用该图形画一对以OP所在直线为对称轴的全等三角形，并将添加的全等条件标注在图上．
请你参考这个作全等三角形的方法，解答下列问题：
（1）如图2，在△ABC中，∠ACB是直角，∠B=60°，AD、CE分别是∠BAC和∠BCA的平分线，AD、CE相交于点F，求∠EFA的度数；
（2）在（1）的条件下，请判断FE与FD之间的数量关系，并说明理由；
（3）如图3，在△ABC中，如果∠ACB不是直角，而（ 1 ）中的其他条件不变，试问在（2）中所得结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．
考点：全等三角形的判定与性质．分析：根据SAS可知：在∠MON的两边上以O为端点截取相等的两条相等，另外两个端点与角平分线上任意一点相连，所构成的两个三角形确定，它们关于OP对称．
（1）根据三角形内角和定理可求∠BAC．∠EFA是△ACF的外角，根据外角的性质计算求解；
（2）根据图1的作法，在AC上截取AG=AF，则EF=FG；根据ASA证明△FCD≌△FCG，得DF=FG，故判断EF=FD；
（3）只要∠B的度数不变，结论仍然成立．证明同（2）．解答：解：如图．（1分）
（1）如图1，∵∠ACB=90°，∠B=60°．
∴∠BAC=30°．（2分）
∵AD、CE分别是∠BAC和∠BCA的平分线，
∴∠DAC=12∠BAC=15°，∠ECA=12∠ACB=45°．
∴∠EFA=∠DAC+∠ECA=15°+45°=60°．（4分）

（2）FE=FD．（5分）
如图2，在AC上截取AG=AE，连接FG．
∵AD是∠BAC的平分线，
∴∠EAF=∠GAF，
在△EAF和△GAF中
∵AE=AG∠EAF=∠FAGAF=AF
∴△EAF≌△GAF（SAS），
∴FE=FG，∠EFA=∠GFA=60°．（6分）
∴∠GFC=180°-60°-60°=60°．
又∵∠DFC=∠EFA=60°，
∴∠DFC=∠GFC．（7分）
在△FDC和△FGC中
∵∠DFC=∠GFCFC=FC∠FCG=∠FCD
∴△FDC≌△FGC（ASA），
∴FD=FG．
∴FE=FD．（8分）

（3）（2）中的结论FE=FD仍然成立．（9分）
同（2）可得△EAF≌△HAF，
∴FE=FH，∠EFA=∠HFA．（10分）
又由（1）知∠FAC=12∠BAC，∠FCA=12∠ACB，
∴∠FAC+∠FCA=12（∠BAC+∠ACB）=12（180°-∠B）=60°．
∴∠AFC=180°-（∠FAC+∠FCA）=120°．
∴∠EFA=∠HFA=180°-120°=60°．（11分）
同（2）可得△FDC≌△FHC，
∴FD=FH．
∴FE=FD．（12分）点评：此题考查全等三角形的判定与性质，综合性较强，难度较大．

Answer 4

解答：解：在OP上任找一点E，过E分别做CE⊥OA于C，ED⊥OB于D，可得△OEC≌△OED，如图①，
角BAD为角1，角DAC为角2，角ACE为角3，角ECB为角4

（1）结论为EF=FD．
如图②，在AC上截取AG=AE，连接FG．
∵AD是∠BAC的平分线，
∴∠1=∠2，
在△AEF与△AGF中

AG=AE
∠1=∠2
AF=AF(公共边)

，
∴△AEF≌△AGF（SAS）．
∴∠AFE=∠AFG，FE=FG．
由∠B=60°，AD，CE分别是∠BAC，∠BCA的平分线，
∵2∠2+2∠3+∠B=180°，
∴∠2+∠3=60°．
又∵∠AFE为△AFC的外角，
∴∠AFE=∠CFD=∠AFG=∠2+∠3=60°．
∴∠CFG=60°．
即∠GFC=∠DFC，
在△CFG与△CFD中

∠GFC=∠DFC
FC=FC(公共边)
∠3=∠4

，
∴△CFG≌△CFD（ASA）．
∴FG=FD．
∴FE=FD．

（2）角BAD为角1，角DAC为角2，角ACE为角3，角ECB为角4
EF=FD仍然成立．
如图③，
过点F分别作FG⊥AB于点G，FH⊥BC于点H．
∴∠FGE=∠FHD=90°，
∵∠B=60°，且AD，CE分别是∠BAC，∠BCA的平分线，
∴∠2+∠3=60°，F是△ABC的内心
∴∠GEF=∠BAC+∠3=60°+∠1，
∵F是△ABC的内心，即F在∠ABC的角平分线上，
∴FG=FH（角平分线上的点到角的两边相等）．
又∵∠HDF=∠B+∠1（外角的性质），
∴∠GEF=∠HDF．
在△EGF与△DHF中，

∠GEF=∠HDF
∠FGE=∠FHD=90°
FG=FH

，

∴△EGF≌△DHF（AAS），
所以FE=FD

Answer 5

解答：解：在OP上任找一点E，过E分别做CE⊥OA于C，ED⊥OB于D．如图，
（1）结论为EF=FD．
如图2，在AC上截取AG=AE，连接FG．
∵AD是∠BAC的平分线，
∴∠1=∠2，
在△AEF与△AGF中， {AG=AE∠1=∠2AF=AF，
∴△AEF≌△AGF（SAS）．
∴∠AFE=∠AFG，FE=FG．
由∠B=60°，AD，CE分别是∠BAC，∠BCA的平分线，
∵2∠2+2∠3+∠B=180°，
∴∠2+∠3=60°．
又∠AFE为△AFC的外角，
∴∠AFE=∠CFD=∠AFG=∠2+∠3=60°．
∴∠CFG=60°．
即∠GFC=∠DFC，
在△CFG与△CFD中， {∠GFC=∠DFCFC=FC∠3=∠4，
∴△CFG≌△CFD（ASA）．
∴FG=FD．
∴FE=FD．

（2）EF=FD仍然成立．
如图3，
过点F分别作FG⊥AB于点G，FH⊥BC于点H．
∴∠FGE=∠FHD=90°，
∵∠B=60°，且AD，CE分别是∠BAC，∠BCA的平分线，
∴∠2+∠3=60°，F是△ABC的内心
∴∠GEF=∠BAC+∠3=60°+∠1，
∵F是△ABC的内心，即F在∠ABC的角平分线上，
∴FG=FH（角平分线上的点到角的两边相等）．
又∠HDF=∠B+∠1（外角的性质），
∴∠GEF=∠HDF．
在△EGF与△DHF中， {∠GEF=∠HDF∠FGE=∠FHD=90°FG=FH，
∴△EGF≌△DHF（AAS），
∴FE=FD