高数幂级数

Question

只做15题··求x的幂级数

Answer 1

关键：用到e^x的幂级数展式：
e^x = 1 + x/1! + x^2/2! + ... + x^n/n! + ...
将x换成(-x)得：
e^(-x) = 1 + (-x)/1! + (-x)^2/2! + ... + (-x)^n/n! + ...
= 1 + (-1) * x / 1! + (-1)^2 * x^2 / 2! + ... +(-1)^n * x^n / n! + ...
观察知，原来e^x展式中的奇数项前面会带上一个-1（因为-1的奇数次幂是-1，偶数次幂是1）
所以e^x +e^(-x)中奇数项被消掉了，只剩下偶数项被算了两次，注意到还有一个1/2的因子。所以
只有偶e^x中的偶数项保留了下来，即：
chx = 1 + x^2/2! + x^4/4! + ... + x^(2n)/(2n)! + ...