设函数f(x)=(-1/3)x^3+x^2+3x(x∈R) （1）求曲线y=f（x）在点（3，f（3））处的切线方程；(2)求函数的单调

Question

设函数f(x)=(-1/3)x^3+x^2+3x(x∈R) （1）求曲线y=f（x）在点（3，f（3））处的切线方程；(2)求函数的单调区间与极值。

Answer 1

解：
(1) f'(x)=-x^2+2x+3 , 在点(3,f(3))时，f'(3)=0, 所以切线方程为y=f（3）即y=9
(2) f'(x)在x属于(-无穷，-1）时f'(x)＜0 ，
在x属于（-1，3）时f'(x)＞0,
x属于（3,+无穷）时f'(x)＜0
所以f（x）在(-无穷,-1)单调减，(-1，3）单调增,(3,+无穷)单调减
当f'(x)=0时 x1=-1,x2=3
所以在x=-1时取得极小值f(-1)=-5/3,x=3时取得极大值 f(3)=9

Answer 2

解：f(x)=(-1/3)x³+x²+3x(x∈R)
f＇(x)=－x²+2x+3
y=f（x）在点（3，f（3））处的切线斜率为f＇(3)=-9+6+3=0
f（3）=-9+9+9=9
切线方程y=0×（x-3）+9
y=9
(2)f＇(x)=－x²+2x+3
=-(x-3)(x+1)
所以，函数的单调增区间[-1,3]
函数的单调减区间(-∞,-1],[3,+∞)
极值点为f（-1）=-5/3
f（3）=9