首先说一下、正确的是じゃあ ね、不是じゃね，读出来发音还是不一样的，意思也会变。
接下来是正题，说一下 现代日本人比较常用的再见的说法以及它们之间的区别吧、可能每个人的见解会略微有些不同，但是因该是八九不离十
ばいばい、じゃあ また(明日会いましょう) ね、さようなら
这些是比较常见的，在一般场合使用的告别方式，这里暂不讨论特殊场合（如 下班与同事和上司告别，以及在有客人的场合突然离开…）
1、ばいばい 一听就知道，是由英语bye-bye变过来的，在年轻人中比较流行，但是会带有孩子气的感觉，另外单单只说 ばい、在关系比较亲密的大人之间，也经常用到。
2、じゃあね 可以认为完整的说法是：じゃあ また(明日会いましょう)ね、或者 じゃあまた(明日会うよ)ね、但是一般都不会这样说，都是各种省略，じゃあ またね ; じゃあね;また ね; 或者直接是 じゃあ; 或 また…各种都有，虽然各个语气会有些微妙的不同，但是总体来说，这都只用在非常熟悉，经常见面的友人之间。
甚至有人把じゃあ重新改回 では、说：では また; 或者 直接是 では。不过这会在一些特殊场合产生一些微妙的效果… （比如你在对某一个人说了一段好像很厉害的话之后，骄傲的转身离开，如果接上 一句では、别人会更加火大
3、さようなら,这是比较郑重的告别，但用途很广。
跟再也见不到的人告别（生离死别，朋友绝交，恋人分手…都可以）。
跟普通朋友告别，因为是普通朋友，虽然有可能只是短暂的离别，但也有可能是不会再见了。
对于陌生的，不了解的，或者是地位你比高的人（现工作上的人不可以，除非你已经辞职了，辞职了也最好不要用，会有不好的感觉。）
的郑重的告别方式。
另外、不知道你的日语老师是中国人还是日本人，不过楼主应该知道，跟老师说话是因该用 ます形的，日本人是非常在意这个关系的，不是说老师摆架子什么的，而是师生之间毕竟是师生，并不是像你和你的闺蜜，兄弟，死党一样的关系，所以最好用敬语（只需要ます形就可以了，不需要像对上司说话一样用尊敬语)， 告别也最好用さようなら、而不是じゃあね
另外说一下じゃね
如果是じゃね、就完全跟じゃあね是两个事物了。
じゃね是否定，では ありません的普通型 では ない，口语说法成じゃない，但是现在很多人喜欢把じゃない说成じゃねー，它其实是东京方言（江戸弁、诸如像是 おもしろい 说成 おもしれー) ，就像大阪方言めっちゃ一样，很多人喜欢用。
所以你的老师生气可能有两种原因：
一种是你告别的方式用错了
第二种是把じゃあね、听成了じゃね（看你打的是じゃね、如果你真的说的也是这个，可就变成:先生じゃねー)