怎样证明分布函数左极限、右连续？

Question

如题所述

Answer 1

要证明分布函数左极限、右连续，需要分别证明左极限和右连续。
首先，证明左极限：
对于任意$t \in
( - \infty, x)$，$F_X(t) = P(X \leq t)
= P(X \leq x) - P(x < X \leq t)
= F_X(x) - F_X(t)$ 因此，$F_X(t) = F_X(x) + F_X(t) - F_X(t)$ 由于$F_X(t)$是单调递增的，因此$F_X(t) \leq F_X(x)$ 所以，$F_X(t) = F_X(x) + F_X(t) - F_X(t) \leq F_X(x)$ 因此，$F_X(t)$是左连续的。 接下来，证明右连续： 对于任意$t \in [x, + \infty)$，$F_X(t) = P(X \leq t)
= P(x \leq X \leq t)
= F_X(x) - F_X(t)$ 因此，$F_X(t) = F_X(x) + F_X(t) - F_X(t)$ 由于$F_X(t)$是单调递增的，因此$F_X(t) \geq F_X(x)$ 所以，$F_X(t) = F_X(x) + F_X(t) - F_X(t) \geq F_X(x)$ 因此，$F_X(t)$是右连续的。

Answer 2

这个完全取决于如何定义分布函数。
如果定义
F(x) = P(X < x)，我们看P(X = 0)=1的情况，当x < 0时，F(x) = 0，但是当x >= 0时，F(x) = 1;

如果定义F(x) = P(X <= x) ，那么就有x <= 0时，F(x) = 0，x > 0时F(x) = 1，又变成了左连续，右极限存在。

一般通用的是采取第一种定义方式，这样得到的分布函数是右连续左极限存在的，简称“右连左极”，简写cadleg。这种连续和极限存在的性质完全可以由定义本身导出。