第1个回答 2012-11-26
解:(1)设该抛物线的解析式为y=ax2+bx+c,
由抛物线与y轴交于点C(0,-3),可知c=-3.
即抛物线的解析式为y=ax2+bx-3把A(-1,0)、B(3,0)代入,
得
a-b-3=0①9a+3b-3=0②
①×3+②得3a-3b-9+9a+3b-3=0,即12a=12,
解得a=1,b=-2.
∴抛物线的解析式为y=x2-2x-3;
(2)抛物线的解析式为 y=(x-1)^2-4
D点坐标为(1,-4),对称轴为x=1
设P点坐标为(x,y)
①若以CD为底边,则PD=PC,
根据勾股定理
得x^2+(3-y)^2=(x-1)^2+(4-y)^2
即y=4-x
又P点(x,y)在抛物线上,
∴ 4-x=-x^2+2x+3,
即 x^2-3x=1=0
解得 x=(3-√5)/2,x=(3-√5)/2<1 (舍去)
∴ y=4-x=(5-根号5)/2,
P坐标为 ((3+√5)/2,(5-√5)/2)
②若CD=PD, 则P与点C关于直线x=1对称,
∴点P坐标为(2,3)
③若CD=PD
根据勾股定理得:
(x-0)^2+(y-3)^2=1+1=2
x^2+(y-3)^2=2
又y=-x^2+2x+3
∴x^2+(-x^2+2x)^2=2
x^2+x^4-4x^3+4x^2-2=0
x^4-4x^3+5x^2-2=0
(x-1)(x^3-3x^2+2x+2)=0
x-1=0,或x^3-3x^2+2x+2=0
x=1 ==> y=4 点D
x^3-3x^2+2x+2=0 只有1个实数根x=-0.52(近似)(舍去)
此时符合条件的点P不存在
∴符合条件的点P坐标为((3+√5)/2,(5-√5)/2) 或(2,3)
第2个回答 2012-05-24
⑴∵抛物线与y轴交于点C(0,3),
∴设抛物线解析式为 y=ax2+bx+3(a不等于0)
根据题意,得
a-b+3=0
9a+3b+3=0
解得 a=-1,b=2
∴抛物线的解析式为 y=-x2+2x+3
⑵存在
由y=-x2+2x+3得,D点坐标为(1,4),对称轴为x=1
①若以CD为底边,则PD=PC,设P点坐标为(x,y)
根据勾股定理
得x2+(3-y)2=(x-1)2+(4-y)2
即y=4-x
又P点(x,y)在抛物线上,∴ 4-x=-x2+2x+3,即 x2-3x=1=0
解得 x=(3加减根号5)/2,(3-根号5)/2小于1 ,应舍去
∴ x=(3+根号5)/2
∴ y=4-x=(5-根号5)/2,即点P坐标为 =((3+根号5)/2,(5-根号5)/2)
②若以CD为一腰,因为点P在对称轴右侧的抛物线上,由抛物线对称性知,点P与点C关于直线x=1对称,此时点P坐标为(2,3)
∴符合条件的点P坐标为((3+根号5)/2,(5-根号5)/2) 或(2,3)
⑶由B(3,0),C(0,3),D(1,4),
根据勾股定理,得CB=3倍根号2 ,CD=根号2 ,BD=2倍根号5
∴CB2+CD2=BD2=20
∴∠BCD=90°
设对称轴交x轴于点E,过C作CM⊥DE,交抛物线于点M,垂足为F,在Rt△DCF中
∵CF=DF=1
∴∠CDF=45°
由抛物线对称性可知,∠CDM=2×45°=90°,点坐标M为(2,3)
∴DM‖BC
∴四边形BCDM为直角梯形
由∠BCD=90°及题意可知
以BC为一底时,顶点M在抛物线上的直角梯形只有上述一种情况;
以CD为一底或以BD为一底,且顶点M在抛物线上的直角梯形均不存在。综上所述,符合条件的点M的坐标为(2,3)