如图，点P从O点出发，以每秒一个单位的速度沿X轴正方向移动，过P作X轴的垂线与y=1/2x交于点A，以PA为一边向右作正方形PABC，当P点运动4秒的时候，点Q从P出发，沿PA-AB-BC运动，速度是每秒2个单位，当Q与C重合时，P、Q两点同时停止运动，设Q点运动的时间为t秒，三角形OPQ的面积为S。
1）求S与t之间的函数关系式，并写出自变量t的取值范围
2）求S的最大值。
解：
由题意得：P运动4秒时，P的坐标为(4,0)；Q点运动路程s[Q]=2t，x[P]=(4+t)，y[A]=(4+t)/2
（1）、Q在PA上时，s[Q]≤y[A]=(4+t)/2，得：t≤4/3(s)
此时：
S[OPQ]=f(t)=x[P]•y[Q]/2=(4+t)•2t/2=t(t+4)=t^2+4t，
MAX[S[OPQ]]= f(4/3)=16/9+16/3=64/9
（2）、Q在AB上时，y[A]≤s[Q]≤2y[A]，得：4/3≤t≤4(s)
此时：
S[OPQ]= f(t)=x[Q]•y[A]/2=(s[Q]-y[A]+x[P]) *y[A]/2
=(2t-(4+t)/2+4+t)•(4+t)/4=(5t+4)•(t+4)/8=(5t^2+24t+16)/8
MAX[S[OPQ]]= f(4)=24×8/8=24
（3）、Q在BC上时，2y[A]≤s[Q]≤3y[A]，得：4≤t≤12(s)
此时：
S[OPQ]= f(t)=x[C]•y[Q]/2=(x[P]+y[A])•(3y[A]-s[Q])/2
=(4+t+(4+t)/2)•(3(4+t)/2-2t)/2=3(4+t)•(12-t)/8=3(48+8t-t^2)/8
MAX[S[OPQ]]= f(4)=3×8×8/8=24。
所以S的最大值为24。
①求点A的坐标;
②以点A、B、O、P为顶点的四边形中, 有菱形、等腰梯形、直角梯形,请分别直接写出这些特殊四边形的顶点P的坐标;
③设以点A、B、O、P为顶点的四边形的面积为S,点P的横坐标为x,当4+6√2<S<6+8√2时,求x的取值范围.
解：
（1）因为抛物线方程为：y＝X^2＋4X
配方得：y＝(X＋2)^2－4,
所以抛物线的顶点坐标为（－2，－4）。 即A的坐标为（－2，－4）
（2）令y＝0，解得X＝0或－4，
所以B点坐标为（－4，0），
因为A点到X轴距离是4
所以根据勾股定理得：AB＝OA＝2√5
情形一：若以A、B、O、P为顶点的四边形是菱形
因为OB＝4＜2√5，所以OB＜AB＝OA
所以AB、OB或OA、OB不能同时作为菱形的边
所以只能是OA、AB作为菱形的两边，OB作为菱形的对角线
所以P点是A点关于X轴的对称点
所以P点坐标为P1（－2，4）
（因为此时OP1//AB，所以P1一定在直线L上）
情形二：若以A、B、O、P为顶点的四边形是等腰梯形
因为OB＝4＜2√5，所以OB＜AB＝OA
所以只能是OB作为梯形的一腰
容易求出直线L的解析式是Y＝－2X
因为P在L上，所以可设其坐标是P（X，－2X）
因为PA＝OB＝4，A点坐标是（－2，－4）
所以根据勾股定理得：
(X＋2）^2＋(－2X＋4)^2＝16
解得：X＝2/5或X＝2
因为当X＝2时，四边形ABOP是平行四边形，不合题意
所以X＝2/5
此时P的坐标是P2（2/5，－4/5）
情形三：若以A、B、O、P为顶点的四边形是直角梯形
显然只能是AB作为梯形的下底
过A、B分别作L的垂线，垂足分别为P4、P3（两点坐标均可表示为（X，－2X））
设O到AB的距离是H，根据三角形面积公式可得下列等式：AB*H＝OB*4
所以H＝8√5/5，即AP4＝AP3＝8√5/5
根据勾股定理得：OA^2＝AP4^2＋OP3^2
将OA＝2√5，AP4＝8√5/5代入得：OP4＝6√5/5
所以得5X^2＝36/5，X＝6/5（－6/5舍去）
所以此时P点坐标为P4（6/5，－12/5）
同理可求出P3（4/5，－8/5）
即以A、B、O、P为顶点的四边形是直角梯形时P点坐标是P3（4/5，－8/5）或P4（6/5，－12/5）
（3）
因为直线L的解析式是：y＝－2X，P的坐标伟（X,－2X),
此时以A、B、O、P为顶点的四边形可以看着是一个梯形，
上底为OP＝√5|X|，下底为AB＝2√5，高为H＝8√5/5，
所以S＝(√5|X|＋2√5)*(8√5/5)/2
＝4|X|＋8
所以有：4＋6√2＜4|X|＋8＜6＋8√2
所以：3√2/2－1＜|X|＜2√2－1/2
所以当X＞0时，X的取值范围是3√2/2－1＜X＜2√2－1/2
当X＜0时，3√2/2－1＜－X＜2√2－1/2
所以：X＜1－3√2/2或X＞1/2－2√2
所以当X＜0时，X的取值范围是：1/2－2√2＜X＜1－3√2/2