点评： 此题主要考查了俯角的定义及其解直角三角形的应用，解题时首先正确理解俯角的定
义，然后利用三角函数和已知条件构造方程解决问题． 23．（13分）（2014•海南）如图，正方形ABCD的对角线相交于点O，∠CAB的平分线分别交BD，BC于点E，F，作BH⊥AF于点H，分别交AC，CD于点G，P，连接GE，GF． （1）求证：△OAE≌△OBG；
（2）试问：四边形BFGE是否为菱形？若是，请证明；若不是，请说明理由； （3）试求：
的值（结果保留根号）．
考点： 四边形综合题． 分析： （1）通过全等三角形的判定定理ASA证得：△OAE≌△OBG；
（2）四边形BFGE是菱形．欲证明四边形BFGE是菱形，只需证得EG=EB=FB=FG，即四条边都相等的四边形是菱形；
（3）设OA=OB=OC=a，菱形GEBF的边长为b．由该菱形的性质CG=GF=b，（也可由△OAE≌△OBG得OG=OE=a﹣b，OC﹣CG=a﹣b，得CG=b）；然后在Rt△GOE中，
由勾股定理可得a=b，通过相似三角形△CGP∽△AGB的对应边成比例得到：
=
=
﹣1；最后由（1）△OAE≌△OBG得到：AE=GB，故
=
=
﹣1．
解答： （1）证明：∵四边形ABCD是正方形， ∴OA=OB，∠AOE=∠BOG=90°． ∵BH⊥AF， ∴∠AHG=90°， ∴∠GAH+∠AGH=90°=∠OBG+∠AGH， ∴∠GAH=∠OBG，即∠OAE=∠OBG．
∴在△OAE与△OBG中，
，
∴△OAE≌△OBG（ASA）；
（2）四边形BFGE是菱形，理由如下： ∵在△AHG与△AHB中，
∴△AHG≌△AHB（ASA）， ∴GH=BH， ∴AF是线段BG的垂直平分线， ∴EG=EB，FG=FB． ∵∠BEF=∠BAE+∠ABE=67.5°，∠BFE=90°﹣∠BAF=67.5° ∴∠BEF=∠BFE ∴EB=FB， ∴EG=EB=FB=FG， ∴四边形BFGE是菱形；
（3）设OA=OB=OC=a，菱形GEBF的边长为b． ∵四边形BFGE是菱形， ∴GF∥OB， ∴∠CGF=∠COB=90°， ∴∠GFC=∠GCF=45°， ∴CG=GF=b， （也可由△OAE≌△OBG得OG=OE=a﹣b，OC﹣CG=a﹣b，得CG=b） ∴OG=OE=a﹣b，在Rt△GOE中，由勾股定理可得：2（a﹣b）2
=b2
，求得 a=b
∴AC=2a=（2+）b，AG=AC﹣CG=（1+）b
∵PC∥AB， ∴△CGP∽△AGB， ∴=
=
=
﹣1，
由（1）△OAE≌△OBG得 AE=GB， ∴=
=
﹣1，即
=
﹣1．
点评： 本题综合考查了全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，以及菱形的判
定与性质等四边形的综合题．该题难度较大，需要学生对有关于四边形的性质的知识
有一系统的掌握．
24．（14分）（2014•海南）如图，对称轴为直线x=2的抛物线经过A（﹣1，0），C（0，5）两点，与x轴另一交点为B．已知M（0，1），E（a，0），F（a+1，0），点P是第一象限内的抛物线上的动点．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）当a=1时，求四边形MEFP的面积的最大值，并求此时点P的坐标； （3）若△PCM是以点P为顶点的等腰三角形，求a为何值时，四边形PMEF周长最小？请说明理由．
考点： 二次函数综合题． 分析： （1）利用待定系数法求出抛物线的解析式；
（2）首先求出四边形MEFP面积的表达式，然后利用二次函数的性质求出最值及点P坐标； （3）四边形PMEF的四条边中，PM、EF长度固定，因此只要ME+PF最小，则PMEF的周长将取得最小值．如答图3所示，将点M向右平移1个单位长度（EF的长度），
得M1（1，1）；作点M1关于x轴的对称点M2，则M2（1，﹣1）；连接PM2，与x轴交于F点，此时ME+PF=PM2最小． 解答： 解：（1）∵对称轴为直线x=2，
∴设抛物线解析式为y=a（x﹣2）2
+k． 将A（﹣1，0），C（0，5）代入得：
，解得
，
∴y=﹣（x﹣2）2
+9=﹣x2
+4x+5．
（2）当a=1时，E（1，0），F（2，0），OE=1，OF=2．
设P（x，﹣x2
+4x+5），
如答图2，过点P作PN⊥y轴于点N，则PN=x，ON=﹣x2
+4x+5，
∴MN=ON﹣OM=﹣x2
+4x+4．
S四边形MEFP=S梯形OFPN﹣S△PMN﹣S△OME =（PN+OF）•ON﹣PN•MN﹣OM•OE
=（x+2）（﹣x2
+4x+5）﹣x•（﹣x2
+4x+4）﹣×1×1 =﹣x2
+x+ =﹣（x﹣）2
+
∴当x=时，四边形MEFP的面积有最大值为
，此时点P坐标为（，
）．
（3）∵M（0，1），C（0，5），△PCM是以点P为顶点的等腰三角形， ∴点P的纵坐标为3．
令y=﹣x2
+4x+5=3，解得x=2±． ∵点P在第一象限，∴P（2+，3）．
四边形PMEF的四条边中，PM、EF长度固定，因此只要ME+PF最小，则PMEF的周长将取得最小值．
如答图3，将点M向右平移1个单位长度（EF的长度），得M1（1，1）； 作点M1关于x轴的对称点M2，则M2（1，﹣1）； 连接PM2，与x轴交于F点，此时ME+PF=PM2最小．
设直线PM2的解析式为y=mx+n，将P（2+
，3），M2（1，﹣1）代入得：
，解得：m=
，n=﹣
，
∴y=x﹣． 当y=0时，解得x=．∴F（，0）．
∵a+1=，∴a=
．
∴a=
时，四边形PMEF周长最小．
点评： 本题是二次函数综合题，第（1）问考查了待定系数法；第（2）问考查了图形面积计
算以及二次函数的最值；第（3）问主要考查了轴对称﹣最短路线的性质．试题计算量偏大，注意认真计算．
追问请问有原题吗