常微分方程问题，例题不懂

Question

求（dy/dx)^3+2x*dy/dx-y=0的解
解出y，并令dy/dx=p，得到y=p^3+2xp
两边对x求导数，得到p=(3p^2)dp/dx+2xdp/dx+2p
即3p^2dp+2xdp+pdx=0;
当p≠0时，上式乘以p得到3p^3dp+2xpdp+p^2dx=0积分后得到答案
我就是不懂，为什么要乘以p而不是直接积分

Answer 1

直接积分的话2xdp+pdx 无法写成全微分，作不下去
而 p*(2xdp+pdx) = x d(p^2) + (p^2) dx = d(x*p^2) 刚好可写成全微分

Answer 2

3p^2dp+2xdp+pdx=0 乘上p 3p^3dp+（2xpdp+p^2dx）=0 在括号内是全微分形式 即为d(xp^2) 这样方才可以积分 另外我想你所说的直接积分是收到了形式化求解的误导 直接积分是没有根据的做法